Question

如图，已知抛物线y=ax+bx-4经过点A（-2，0），B（4，O）与y轴交于C点．

（1）求抛物线的解析式．
（2）若D点坐标为（0，2），P为抛物线第三象限上一动点，连PO交BD于M点，问是否存在一点P，使

OM

OP

=

2

3

？若存在，求P点坐标；不存在，请说明理由．
（3）G为抛物线第四象限上一点，OG交BC于F，求当GF：OF的比值最大时G点的坐标．

Answer 1

分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求函二次数解析式解答；
（2）过点M作MR⊥y轴于R，过点P作PG⊥y轴于G，然后根据△OMR和△OPG相似，利用相似三角形对应边成比例列式表示出点M、P的坐标之间的关系，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BD的解析式，设出点M的坐标，再表示出点P的坐标，然后根据点P在抛物线上列出方程求解即可；
（3）过点O作OE⊥BC于E，过点G作GH⊥BC于G，可得△OEF和△GHF相似，然后利用相似三角形对应边成比例可得

GF

OF

=

GH

OE

，从而得到当GH最大时，比值最大，再求出直线BC的解析式，根据与直线BC平行的直线与抛物线有且只有一个交点时距离最大，然后与抛物线联立消掉未知数y，利用根的判别式△=0列式求解即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax+bx-4经过点A（-2，0），B（4，O），
∴

4a-2b-4=0 16a+4b-4=0

，
解得

a= 1 2 b=-1

，
∴抛物线解析式为y=

1

2

x²-x-4；

（2）如图1，过点M作MR⊥y轴于R，过点P作PG⊥y轴于G，
则△OMR∽△OPG，
∴

OM

OP

=

MR

PG

=

OR

OG

，
∵

OM

OP

=

2

3

，
∴

xM

-xP

=

yM

-yP

=

2

3

，
∵B（4，O），D（0，2），
∴直线BD的解析式为y=-

1

2

x+2，
∵点M在BD上，
∴设点M的坐标为（2m，-m+2），
则点P的坐标为（-3m，

3

2

m-3），
把点P坐标代入抛物线得，

1

2

×（-3m）²-（-3m）-4=

3

2

m-3，
整理得，9m²+3m-2=0，
解得m₁=

1

3

，m₂=-

2

3

，
∵点P在第三象限，
∴点P的坐标为（-1，-

5

2

）；

（3）如图2，过点O作OE⊥BC于E，过点G作GH⊥BC于G，
则△OEF∽△GHF，
∴

GF

OF

=

GH

OE

，
∵OE是Rt△OBC斜边BC上的高，不变，
∴GH最大时，GF：OF的比值最大，
因此，直线BC平移到与第四象限的抛物线有且只有一个交点时距离最大，
令x=0，则y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4），
又∵点B（4，0），
∴直线BC的解析式为y=x-4，
设平移直线BC得到y=x+h，
联立

y=x+h y= 1 2 x2-x-4

，
消掉y得，x²-4x-8-2h=0，
△=b²-4ac=（-4）²-4×1×（-8-2h）=48+8h=0，
解得h=-6，
解得

x=2 y=-4

，
∴点G的坐标为（2，-4）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，互相平行的直线的解析式的k值相等，作辅助线构造出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．