Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+4与x轴的一个交点为A（-2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；
（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）抛物线为y=-x²+x+4．（2）M的坐标为（6，4）或（3-，-4）或（3+，-4）．（3）点P的坐标为（4+，）或（4-，）或（-1+，-8+2）或（-1-，-8-2）．

试题分析：（1）解析式已存在，y=ax²+bx+4，我们只需要根据特点描述求出a，b即可．由对称轴为-，又过点A（-2，0），所以函数表达式易得．
（2）四边形为平行四边形，则必定对边平行且相等．因为已知MN∥BC，所以MN=BC，即M、N的位置如B、C位置关系，则可分2种情形，①N点在M点右下方，即M向下平行4个单位，向右2个单位与N重合；②M点在N右下方，即N向下平行4个单位，向右2个单位与M重合．因为M在抛物线，可设坐标为（x，-x²+x+4），易得N坐标．由N在x轴上，所以其纵坐标为0，则可得关于x的方程，进而求出x，求出M的坐标．
（3）使△PBD≌△PBC，易考虑∠CBD的平分线与抛物线的交点．确定平分线可因为BC=BD，可作等腰△BCD，利用三线合一，求其中线所在方程，进而与抛物线联立得方程组，解出P即可．
试题解析：（1）∵抛物线y=ax²+bx+4交x轴于A（-2，0），
∴0=4a-2b+4，
∵对称轴是x=3，
∴-=3，即6a+b=0，
两关于a、b的方程联立解得 a=-，b=，
∴抛物线为y=-x²+x+4．
（2）∵四边形为平行四边形，且BC∥MN，
∴BC=MN．
①N点在M点右下方，即M向下平移4个单位，向右平移2个单位与N重合．
设M（x，-x²+x+4），则N（x+2，-x²+x），
∵N在x轴上，
∴-x²+x=0，
解得 x=0（M与C重合，舍去），或x=6，
∴x_M=6，
∴M（6，4）．
②M点在N右下方，即N向下平行4个单位，向右2个单位与M重合．
设M（x，- x²+x+4），则N（x-2，-x²+x+8），
∵N在x轴上，
∴-x²+x+8=0，
解得 x=3-，或x=3+，
∴x_M=3-，或3+．
∴M（3-，-4）或（3+，-4）
综上所述，M的坐标为（6，4）或（3-，-4）或（3+，-4）．
（3）∵OC=4，OB=3，
∴BC=5．
如果△PBD≌△PBC，那么BD=BC=5，
∵D在x轴上，
∴D为（-2，0）或（8，0）．
①当D为（-2，0）时，连接CD，过B作直线BE平分∠DBC交CD于E，交抛物线于P₁，P₂，
此时△P₁BC≌△P₁BD，△P₂BC≌△P₂BD，
∵BC=BD，
∴E为CD的中点，即E（-1，2），
设过E（-1，2），B（3，0）的直线为y=kx+b，则，
解得，
∴BE：y=-x+．
设P（x，y），则有，
解得 ，或，
则P₁（4+，），P₂（4-，）．
②当D为（8，0）时，连接CD，过B作直线BF平分∠DBC交CD于F，交抛物线于P₃，P₄，
此时△P₃BC≌△P₃BD，△P₄BC≌△P₄BD，
∵BC=BD，
∴F为CD的中点，即E（4，2），
设过E（4，2），B（3，0）的直线为y=kx+b，则，
解得 ，
∴BF：y=2x-6．
设P（x，y），则有，
解得 或 ，
则P₃（-1+，-8+2），P₄（-1-，-8-2）．
综上所述，点P的坐标为（4+，）或（4-，）或（-1+，-8+2）或（-1-，-8-2）．
【考点】二次函数综合题．