Question

（2012•大庆）已知半径为1cm的圆，在下面三个图中AC=10cm，AB=6cm，BC=8cm，在图2中∠ABC=90°．
（l）如图1，若将圆心由点A沿A→C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；
（2）如图2，若将圆心由点A沿A→B→C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；
（3）如图3，若将圆心由点A沿A→B→C→A方向运动回到点A．
则：I）阴影部分面积为

6cm²

；Ⅱ）圆扫过的区域面积为

（42+π）cm²

．

Answer 1

分析：（1）根据图形可得，圆扫过的面积等于一个长为AC，宽为直径的矩形面积，加上一个圆的面积，从而求解即可．
（2）根据（1）的计算方法，由点A沿A→B→C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积，等于圆经过AB扫过的面积+经过BC扫过的面积-（

3

4

个圆的面积+一个边长为r的正方形的面积）；
（3）根据题意补充图形，先判断出DA和FC为角平分线，然后利用二倍角公式（tan

1

2

α=

sinα

1+cosα

）求出阴影部分的两条直角边；圆扫过的区域面积=题（2）中扫过的面积+圆经过CA扫过的面积-（图3中两个蓝线所画阴影部分的面积）．

解答：解：（1）

由题意得，圆扫过的面积=DE×AC+πr²=（20+π）cm²．
（2）

圆扫过的区域面积=圆经过AB扫过的面积+经过BC扫过的面积-图2中红线围成区域的面积（即是

3

4

个圆的面积+一个边长为r的正方形的面积），
结合（1）的求解方法，可得所求面积=（2r×AB+πr²）+（2r×BC+πr²）-（

3

4

πr²+r²）=2r（AB+BC）+

5

4

πr²-1=（27+

5

4

π）cm²．
（3）根据题意补充图形如下所示，

连接MH，AG和AD；连接ON、CP和CF，
∵AG⊥GD，AH⊥DH，AG=AH=1cm，
∴DA为∠GDH的角平分线（角平分线性质定理的逆定理），
∴∠ADG=∠ADH=

1

2

∠GDH=

1

2

∠EDF，
∵sin∠EDF=sin∠BAC=

4

5

，cos∠EDF=cos∠BAC=

3

5

，
∴tan∠ADG=

AG

GD

=tan

1

2

∠EDF=

sin∠EDF

1+cos∠EDF

=

4 5

1+ 3 5

=

1

2

，
∴DG=DH=2cm，
同理可求出：FP=FO=3cm，
∴DE=AB-DH-r=6-2-1=3cm，EF=BC-FO-r=8-3-1=4cm，
故阴影部分的面积为：

1

2

×3×4=6cm²；
而此时圆扫过的区域面积=题（2）中扫过的面积+圆经过CA扫过的面积-（图3中两个蓝线所画阴影部分的面积），
∵∠MAG+∠GAB=∠GAB+∠BAC=90°，
∴∠MAG=∠BAC，
同理可求出：∠PCN=∠BCA，
∴∠MAG+∠PCN=∠BAC+∠BCA=90°，
∴图3中两个蓝线所画阴影部分的面积=（△AGD+△AHD+△FPC+△FOC+

5

4

个圆）的面积=2×

1

2

×1×2+2×

1

2

×1×3+

5

4

•π•1²=（5+

5

4

π）cm²，
又圆经过CA扫过的面积=2r×AC+πr²=（20+π）cm²，
∴圆扫过的区域面积=（27+

5

4

π）+（20+π）-（5+

5

4

π）=（42+π）cm²．

点评：此题属于圆的综合题，解答本题的关键是根据图形得出扫描过后的面积是由哪些部分组成的，有一定难度，注意仔细观察图形，并对数形结合思想进行灵活运用．