Question

【题目】教材呈现：下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．

猜想

如图，在中，点、分别是与的中点．根据画出的图形，可以猜想：

，且．

对此，我们可以用演绎推理给出证明．

定理证明：请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．

定理应用：

在矩形ABCD中，，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且．

（1）如图②，点F在边CB上，连结EF．若，则EF与AC的关系为______________．

（2）如图③，将线段AE绕点A旋转一定的角度，得到线段，连结，点H为的中点，连结BH．设BH的长度为．若，则的取值范围为___________．

Answer 1

【答案】定理证明：见解析；定理应用：（1）EF∥AC，；（2）≤m ≤ ．

【解析】

定理证明：利用及∠A＝∠A可证得△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可得证；

定理应用：（1）利用及∠B＝∠B可证得△BEF∽△BAC，进而再利用相似三角形的性质即可证得EF与AC的位置关系和数量关系；

（2）取AC中点F，连接BF、HF，易证得BF＝AC＝，HF＝AE'＝，再根据三角形三边关系即可得到m的取值范围．

定理证明：

∵点D、E分别是AB与AC的中点，

∴．

∵∠A＝∠A，

∴△ADE∽△ABC，

∴∠ADE＝∠ABC，，

∴DE∥BC，且．

定理应用：

（1）解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵∠B＝∠B，

∴△BEF∽△BAC，

∴∠BEF＝∠BAC，，

∴EF∥AC，．

（2）解：如图，取AC中点F，连接BF、HF，

在矩形ABCD中，∠B＝90°，BC＝AD，

又∵，

∴BC＝2，

∴在Rt△ABC中，

∵∠B＝90°，点F分别为AC的中点，

∴，

∵，，

∴

∵点H、F分别为CE'、AC的中点，

∴，

∴当点H、F、B不在同一直线上时，＜m＜，

当点H、F、B在同一直线上时，m＝或m＝，

综上所述，m的取值范围是≤m ≤．