【题目】数学课上，老师提出如下问题：已知点A，B，C是不在同一直线上三点，求作一条过点C的直线l，使得点A，B到直线l的距离相等.
小明的作法如下：
①连接AB；
②分别以A，B为圆心，以大于
AB为半径画弧，两弧交于M、N两点；
③作直线MN，交线段AB于点O；
④作直线CO，则CO就是所求作的直线l.
老师肯定了小明的作法，根据上面的作法回答下列问题：
（1）小明利用尺规作图作出的直线MN是线段AB的 ；点O是线段AB的 ；
（2）要证明点A，点B到直线l的距离相等，需要在图中画出必要的线段，请在图中作出辅助线，并说明线段 的长是点A到直线l的距离，线段 的长是点B到直线l的距离；
（3）证明点A，B到直线l的距离相等.
【答案】（1）垂直平分线； 中点；（2）作图见解析，AE， BF ；（3）见解析
【解析】
（1）根据基本作图可判断直线MN是线段AB的垂直平分线，则点O是线段AB的中点；
（2）利用基本作图（过一点作已知直线的垂线），作点A作AE⊥l于点E，过点B作BF⊥l于点F；根据点到直线的距离可判断线段AE 的长是点A到直线l的距离，线段BF 的长是点B到直线l的距离；
（3）证明△AEO≌△BFO即可得到AE＝BF.
解：（1）直线MN是线段AB的垂直平分线；点O是线段AB的中点；
（2）过点A作AE⊥l于点E，过点B作BF⊥l于点F；
线段AE 的长是点A到直线l的距离，
线段BF 的长是点B到直线l的距离；
（3）∵AE⊥l，BF⊥l，
∴∠AEO＝∠BFO＝90°
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AEO≌△BFO，
∴AE＝BF，即点A，B到直线l的距离相等.
金牌教辅培优优选卷期末冲刺100分系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知△BAC为圆O内接三角形，AB＝AC，D为⊙O上一点，连接CD、BD，BD与AC交于点E，且BC2＝ACCE
①求证：∠CDB＝∠CBD；
②若∠D＝30°，且⊙O的半径为3+
，I为△BCD内心，求OI的长．
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【题目】某校八年级共有8个班，241名同学，历史老师为了了解新中考模式下该校八年级学生选修历史学科的意向，请小红，小亮，小军三位同学分别进行抽样调查．三位同学调查结果反馈如下：
小红、小亮和小军三人中，你认为哪位同学的调查结果较好地反映了该校八年级同学选修历史的意向，请说出理由，并由此估计全年级有意向选修历史的同学的人数．
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【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和直线m，给出如下定义：若存在一点P，使得点P到直线m的距离等于1，则称P为直线m的平行点．
（1）当直线m的表达式为y＝x时，
①在点
，
，
中，直线m的平行点是______；
②⊙O的半径为
，点Q在⊙O上，若点Q为直线m的平行点，求点Q的坐标．
（2）点A的坐标为（n，0），⊙A半径等于1，若⊙A上存在直线
的平行点，直接写出n的取值范围．
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【题目】北京地铁票价计费标准如表所示：
另外，使用市政交通一卡通，每个自然月每张卡片支出累计满100元后，超出部分打8折；满150元后，超出部分打5折；支出累计达400元后，不再打折.
小红妈妈上班时，需要乘坐地铁15公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，如果每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么每月第21次乘坐地铁上下班时，她刷卡支出的费用是（ ）
A.2.5元B.3元C.4元D.5元
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【题目】列方程解应用题：
某商店在2016年至2018年期间销售一种礼盒．2016年，该商店用2200元购进了这种礼盒并且全部售完：2018年，这种礼盒每盒的进价是2016年的一半，且该商店用2100元购进的礼盒数比2016年的礼盒数多100盒．那么，2016年这种礼盒每盒的进价是多少元？
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【题目】已知：如图，点E为正方形ABCD边BC上一动点，连接AE，并将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF．过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE≌△EGF；
（2）连接CF，延长FE交AB的延长线于点H．探究线段BH，BC，CF之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）连接AF交CD于M，若BH＝1，CF＝3
．求AM的长．
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【题目】已知抛物线y=（1-a）x2+8x+b的图象的一部分如图所示，抛物线的顶点在第一象限，且经过点A（0，-7）和点B．
（1）求a的取值范围；
（2）若OA=2OB，求抛物线的解析式．
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【题目】如图，已知直线
分别交
轴、
轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC
轴于点C，交抛物线于点D．
（1）若抛物线的解析式为
，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．
①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与
AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
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