Question

【题目】探究;

（）如图， 、为的边、上的两定点，在上求作一点，使的周长最短．（不写作法）

（）如图，矩形中， ， ， 、分别为边、的中点，点、分别为、上的动点，求四边形周长的最小值．

（）如图，正方形的边长为，点为边中点，在边、、上分别确定点、、．使得四边形周长最小，并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；（2）；（3）．

【解析】（1）

试题分析：（1）利用轴对称图形的性质，作点P关于BC的对称点P′，连接P′Q，交BC于点M，则M是所求的点；（2）如图，延长EB至E'使E' B=EB，延长FD至F'使F' D=FD，连接E' F'交BC、CD于M、N．此时四边形EFNM周长最小．根据勾股定理求得EF、E' F'的长，即可得四边形OMNP周长的最小值；（3）如图，延长到使，延长至使．作关于直线对称的点，连接交、于、．连交于，即为周长最小．根据正方形的性质和轴对称的性质易得、、为各边中点，所以四边形周长的最小值为．

试题解析：

（）如图，作点关于的对称点，连接，交于点，点是所求的点．

（）如图，延长至使，延长至使，连接交、于、．此时四边形周长最小．

周长 ．

（）如图，延长到使，延长至使．

作关于直线对称的点，连接交、于、．

连交于，即为周长最小．

易得、、为各边中点，周长为．