Question

【题目】如图，点P为x轴上一点，M为以P为圆心、PO为半径的圆上一点，过M作MN∥x轴交⊙P于另一点N,若M点的坐标为(-1，3)，则点N的坐标为_____．

Answer 1

【答案】（-9,3）

【解析】

连接PM、PN、过点M作MA⊥x轴于点A，过点P作PB⊥MN于点B，设PO＝r，则PM＝PN＝PO＝r，由M坐标（﹣1，3）推出OA＝1，MA＝3，AP＝（r－1），由勾股定理可得

，列关于r的一元二次方程，解方程得r＝5，继而得P的坐标为（﹣5，0），根据平行线的性质可得N的纵坐标为3，根据矩形的判定和性质可得MB＝AP＝4，由垂径定理可得：NB＝MB＝4，继而推出N的横坐标为﹣9即可．

连接PM、PN、过点M作MA⊥x轴于点A，过点P作PB⊥MN于点B，设PO＝r，则PM＝PN＝PO＝r，

∵M坐标为（﹣1，3）

∴OA＝1，MA＝3，AP＝PO﹣OA=r﹣1

在Rt△MPA中，由勾股定理可得

，即，解得r＝5，

∴圆心P的坐标为（﹣5，0）

∵MN∥x轴交⊙P于另一点N

∴N的纵坐标为3

∵PB⊥MN，MA⊥x轴，MN∥x轴

∴∠PBM＝∠PAM＝∠AMB＝∠MBP＝90°

∴四边形APBM是矩形，

∴MB＝AP＝5－1＝4

由垂径定理可得：NB＝MB＝4

∴N的横坐标为：﹣5－4＝﹣9

∴点N的坐标为（﹣9,3）

故答案为：（﹣9,3）