Question

如图，抛物线y=x²+4x与x轴分别相交于点B、O，它的顶点为A，连接AB，把AB所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上有一动点．
（1）求点A的坐标；
（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标；
（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S，点P的横坐标为x，当4+6

2

≤S≤6+8

2

时，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线的解析式，根据顶点公式，可求出A点的坐标（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）且a=1，b=4，c=0．
∵y=x²+4x=（x+2）²-4，∴A（-2，-4）．
（2）若ABOP为菱形时，根据菱形的性质，则P点横坐标与A坐标相同，然后再代入直线就可求出纵坐标，则P坐标就求出；若ABOP为等腰梯形时，OA=BP，已知O，A坐标，可求出OA长度，设P横坐标为a，P在直线上，可用a表示出坐标，从而求出BP长度，OA=BP，可求出a的值，即求出P坐标．若ABOP为直角梯形时，BP与AB垂直，可求出直线BP的关系式，直线BP与直线l的交点即P点坐标．
（3）首先可以得出l的解析式．据图分析有两种情况可以构成QABP为四边形，即当P在第二象限时和在第四象限时，当P在第二象限时，四边形由△AOB和△POB组成，△AOB面积确定，则△POB的面积可以求出来，由于△AOB+△POB代入到面积的不等式中可以得出x的取值范围．同理当P在第四象限时，△AOB+△AOP代入到面积不等式中可以得到x的取值范围．
得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8，所以直线l对应的函数关系式为y=-2x．
设点P坐标为（x，-2x），分别讨论点P在第二象限以及第四象限的值．

解答：解：（1）∵y=x²+4x=（x+2）²-4，
∴A（-2，-4）．

（2）由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8，
所以直线l对应的函数关系式为y=-2x．
当四边形ABOP是菱形时，P点横坐标与A点横坐标相同，纵坐标与A点坐标互为相反数，四边形ABP₁O为菱形时，P₁（-2，4）；
四边形ABOP₂为等腰梯形时，设P₂横坐标为a，将x=a代入y=-2x，得
P₂（a，-2a）．
又∵AO=

22+42

=2

5

，
∴P₂B=

(-4-a)2+(0+2a)2

，
∴

(-4-a)2+(0+2a)2

=2

5

，
整理得，5a²+8a-4=0，
解得，a=-2（舍去），a=

2

5

，故P₂（

2

5

，-

4

5

）；
ABOP为直角梯形时，BP₃与AB垂直，则直线BP的解析式为y=

1

2

x+b，
把B（-4，0）代入解析式得，

1

2

×（-4）+b=0，
解得b=2．
直线BP的解析式为y=

1

2

x+2，
故得

y= 1 2 x+2 y=-2x

，
解得

x=- 4 5 y= 8 5

，
四边形ABP₃O为直角梯形时，P₃（-

4

5

，

8

5

）；
同理，当AP₄垂直于AB时，四边形ABOP₄为直角梯形，P₄（

6

5

，-

12

5

）．

（3）设点P坐标为（x，-2x）．
①当点P在第二象限时，x＜0，
△POB的面积S_△POB=

1

2

×4×（-2x）=-4x．
∵△AOB的面积S_△AOB=

1

2

×4×4=8，
∴S=S_△AOB+S_△POB=-4x+8（x＜0）．
∵4+6

2

≤S≤6+8

2

，
∴

S≥4+6 2 S≤6+8 2

即

-4x+8≥4+6 2 -4x+8≤6+8 2

∴

x≤ 2-3 2 2 x≥ 1-4 2 2

∴x的取值范围是

1-4 2

2

≤x≤

2-3 2

2

．
②当点P在第四象限时，x＞0，过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′．则四边形POA′A的面积S_POA′A=S_{梯形PP′A′A}-S_△PP′O=

4+2x

2

•（x+2）-

1

2

•（2x）•x=4x+4．
∵△AA′B的面积S_△AA′B=

1

2

×4×2=4，
∴S=S_POA′A+S_△AA′B=4x+8（x＞0）．
∵4+6

2

≤S≤6+8

2

，
∴

S≥4+6 2 S≤6+8 2

即

4x+8≥4+6 2 4x+8≤6+8 2

∴

x≥ 3 2 -2 2 x≤ 4 2 -1 2

∴x的取值范围是

3 2 -2

2

≤x≤

4 2 -1

2

．

点评：该题首先是考查了抛物线函数的特性，要求掌握抛物线函数的特点．其次是利用不等式通过动态点的变化来加深了解抛物线曲线和一次函数的关系．