Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝x²－x－10与x轴的交点为A，与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连结AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t(单位：秒)

（1）求A，C两点的坐标和抛物线的顶点M坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；
（3）当0<t<4.5时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；
（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．

Answer 1

（1）A(18，0) C(8，－10) M (4，－)，（2），理由见解析（3）是定值，理由见解析（4）t＝－2，理由见解析解析:
（1）在y＝x²－x－10中，令y＝0，得x²－8x－180＝0．
解得x＝－10或x＝18，∴A(18，0)． …………………………1分
在y＝x²－x－10中，令x＝0，得y＝－10．
∴B(0，－10)．
∵BC∥x轴，∴点C的纵坐标为－10．
由－10＝x²－x－10得x＝0或x＝8．
∴C(8，－10)． ……………………………………………………2分
∵y＝x²－x－10＝(x－4)²－
∴抛物线的顶点坐标为(4，－)．………………………………3分
（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC＝PA即可．
∵QC＝t，PA＝18－4t，∴t＝18－4t．
解得t＝．…………………………………………………………5分
（3）设点P运动了t秒，则OP＝4t，QC＝t，且0＜t＜4.5，说明点P在线段OA上，且不与点O，A重合．
∵QC∥OP，    ∴＝＝＝＝．
同理QC∥AF，∴＝＝＝，即＝．
∴AF＝4t＝OP．
∴PF＝PA＋AF＝PA＋OP＝18．
∴S_△PQF ＝PF·OB＝×18×10＝90
∴△PQF的面积总为定值90． …………………………………………7分
（4）设点P运动了t秒，则P(4t，0)，F(18＋4t，0)，Q(8－t，－10)  t在（0，4.5）．
∴PQ²＝(4t－8＋t)²＋10²＝(5t－8)²＋100
FQ²＝(18＋4t－8＋t)²＋10²＝(5t＋10)²＋100．
PF ²=324
①若FP＝FQ，则18²＝(5t＋10)²＋100．
即25(t＋2)²＝224，(t＋2)²＝．
∵0≤t≤4.5，∴2≤t＋2≤6.5，∴t＋2＝＝．
∴t＝－2．
②若QP＝QF，则(5t－8)²＋100＝(5t＋10)²＋100．
即(5t－8)²＝(5t＋10)²，无0≤t≤4.5的t满足．
③若PQ＝PF，则(5t－8)²＋100＝18²．
即(5t－8)²＝224，由于≈15，又0≤5t≤22.5，
∴－8≤5t－8≤14.5，而14.5²＝()²＝＜224．
故无0≤t≤4.5的t满足此方程．
注：也可解出t＝＜0或t＝＞4.5均不合题意，
故无0≤t≤4.5的t满足此方程．
综上所述，当t＝－2时，△PQF为等腰三角形………………………………10分
（1）在y＝x²－x－10中，令y=0可求A，令x=0，可求B；由BC∥x轴，可得点C的纵坐标为-10．由-10=x²－x－10可求C，由y=x²－x－10=
可求抛物线的顶点坐标
（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC=PA即可求解．
（3）设点P运动了t秒，则OP=4t，QC=t，且0＜t＜4.5，说明点P在线段OA上，且不与点O，A重合．由QC∥OP，可得＝＝＝＝．同理QC∥AF，∴＝＝＝，即＝．代入三角形的面积公式S△PQF=PF•OB
（4）设点P运动了t秒，则P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8-t，-10）t∈（0，4.5）．从而有PQ²=（4t-8+t）²+10²=（5t-8）²+100，FQ²=（18+4t-8+t）²+10²=（5t+10）²+100．分①若FP=FQ②若QP=QF，③若PQ=PF分别进行求解