Question

如图，反比例函数的图象经过边长为3正方形OABC的顶点B，点P（m，n）为该函数图象上的一动点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S（即图中阴影部分的面积）．
（1）求k的值；
（2）当m=4时，求n和S的值；
（3）求S关于m的函数解析式．

Answer 1

解：（1）由题意可知点B的坐标为：（3，3），将其代入中，得：
，
解得：k=9；

（2）由（1）知反比例函数的解析式为，把（4，n）
代入，得n=，
如图1，则S=S_矩形BCFN+S_矩形AEPN=3×（3-）+（4-3）×=4.5；



（3）分两种情况：∵点P（m，n）为该函数y=图象上的一动点，
∴n=，
如图2，当0＜m＜3时，S=S_矩形PFCN+S_矩形BNEA
=PF•FC+AB•BN
=m（-3）+3×（3-m）
=18-6m，
如图1，当m＞3时，S=S_矩形BCFN+S_矩形AEPN
=BC•BN+PE•AE
=3×（3-）+（m-3）
=18-．
分析：（1）由题意可知点B的坐标为：（3，3），将其代入中，得出函数解析式即可；
（2）把（4，n）代入，求出N的值即可，再利用S=S_矩形BCFN+S_矩形AEPN进而求出即可；
（3）利用当0＜m＜3时，S=S_矩形PFCN+S_矩形BNEA，当m＞3时，S=S_矩形BCFN+S_矩形AEPN，分别求出即可．
点评：此题主要考查了反比函数的综合应用以及矩形面积求法等知识，正确利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．