Question

 已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，线段交轴于点．

(1)    求这条抛物线的解析式；

(2)    点是线段上一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，求线段的长度的最大值；

(3)    设抛物线与轴的另一个交点为，连结．过点作的平行线

．在直线上是否存在点，在轴右侧的抛物线上是否存在点，使得四边形为直角梯形？若存在，请求出、两点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)因为抛物线过点、，

所以解这个方程组，得   

所以抛物线的解析式为：．

(2)设直线的解析式为：，因为、坐标分别为，，

所以  解这个方程组，得 

所以直线的解析式为：．

设点的坐标为，因为点在线段上，所以．

因为轴，我们可设点坐标为．

因为点在抛物线上，所以．

因为点在点的上方，

所以＝＝． 

即＝． 所以当时，长度的最大值为4

 (3) 存在．理由如下：

要使四边形为直角梯形，则四边形

首先必须为梯形，即需满足∥或∥．

①     若∥，

因为、两点在直线上，即有∥．

又因∥，所以点在直线上．

因为点又在抛物线上，

所以点是直线与抛物线的交点．

由已知是直线与抛物线的交点，

所以就是满足条件的一个点．

在中，令，即，解得(舍去)．

所以，即． 

因为直线与抛物线的另一个交点在第二象限，故舍去．

过点作，垂足为点，过点作轴，垂足为．

在直线中，令，得．即点的坐标为．

在中，因为，所以．

因为∥，所以．

所以是等腰直角三角形．

所以，，所以点的坐标是．

②∥，

因为直线与直线不垂直，所以点必为直角顶点．轴．

因为点的坐标为，我们可设，

因为点在抛物线上，

所以，解得(舍去)．得点的坐标为．

设(点在直线上)，交轴于点，则．

在中，，，所以点的坐标为．

综上所述，存在满足条件的点和点，坐标分别是或．