Question

开口向下的抛物线与轴的交点为A、B（A在B的左边），与轴交于点C。连结AC、BC。

(1) 若△ABC是直角三角形（图1）。求二次函数的解析式；

(2) 在（1）的条件下，将抛物线沿轴的负半轴向下平移（＞0）个单位，使平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点。求的值。

(3) 当点C坐标为（0，4）时（图2），P、Q两点同时从C点出发，点P沿折线C→O→B运动到点B,点Q沿抛物线（在第一象限的部分）运动到点B，若P、Q两点的运动速度相同，请问谁先到达点B？请说明理由.（参考数据：　 ）

Answer 1

抛物线与轴的交点为A（-1，0）、B（4，0）

（1） 若△ABC是直角三角形,只有∠ACB=90⁰ 。

由题易得△ACO∽△COB

∴    ∴   ∴    

∵抛物线开口向下   ∴C(0,2)            ………………2分

把 C（0，2）代入得   

                   ………………2分

（2）由 可得

抛物线的顶点为（，）, 点C(0,2)               ………………1分

当点C向下平移到原点时，

平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点       ∴………………1分

当顶点向下平移到轴时，

平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点       ∴………………1分

（3）当点C为（0，4）时，抛物线的解析式为

抛物线的顶点为D（，）  ………………1分

 连结DC、DB

∵D（，）   B（4，0）   C（0，4）

∴CD=

DB=

∴CD+DB=2.7+6.75=9.45         ………………2分

∵CO+OB=4+4=8    ∴DB+DC>CO+OB

由函数图像可知第一象限内的抛物线的长度比CD+DB还要长

所以第一象限内的抛物线的长度要大于折线C→O→B的长度

所以点P先到达点B      ………………2分