Question

使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数，                

令y＝0，可得x＝1，我们就说1是函数的零点．己知函数                       (m为常数)．

  （1）当＝0时，求该函数的零点；

（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点；

（3）如图，设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA＋MB最小时，求直线AM的函数解析式．

Answer 1

1）当＝0时，该函数为y＝x²－6，令y＝0，得x²－6＝0，解得x₁＝，x₂＝，故该函数的零点为和．

（2）令y＝0，得△＝

∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根．即无论取何值，该函数总有两个零点．

（3）依题意有，

由，得，

解得．

∴函数的解析式为．

令y＝0，解得

∴A()，B(4,0)

作点B关于直线的对称点B′，连结AB′，则AB′与直线的交点就是满足条件的M点．

易求得直线与x轴、y轴的交点分别为C（10，0），D（0，10）．

连结CB′，则∠BCD＝45°

∴BC＝CB′＝6，∠B′CD＝∠BCD＝45°

∴∠BCB′＝90°，即B′（）

设直线AB′的解析式为，则

，解得

∴直线AB′的解析式为，即AM的解析式为．