Question

【题目】锐角中，，为边上的高线，，两动点分别在边上滑动，且，以为边向下作正方形（如图1），设其边长为．

（1）当恰好落在边上（如图2）时，求；

（2）正方形与公共部分的面积为时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或4．

【解析】

（1）根据已知条件，求出AD的值，再由△AMN∽△ABC，确定比例关系求出x的值即可；

（2）当正方形与公共部分的面积为时，可分两种情况，一是当 在△ABC的内部，二是当 在△ABC的外部，当当 在△ABC的外部时，根据相似，表达出重叠部分面积，再列出方程，解出x的值即可．

解：（1）∵，为边上的高线，，

∴

∴AD=4，

设AD交MN于点H，

∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC，

∴，即，解得，

∴当恰好落在边上时，

（2）①当 在△ABC的内部时，正方形与公共部分的面积即为正方形的面积，

∴，解得

②当 在△ABC的外部时，如下图所示，PM交BC于点E，QN交BC于点F，AD交MN于点H，

设HD=a，则AH=4-a，

由得，解得

∴矩形MEFN的面积为

即

解得（舍去），

综上：正方形与公共部分的面积为时，或4．