Question

附加题：如图，点A₁，B₁，C₁分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且

AA1

AB

=

BB1

BC

=

CC1

CA

=k，(k＞

1

2

)，若△ABC的周长为p，△A₁B₁C₁的周长为p₁；求证：p₁＜（1-k）p．

Answer 1

分析：过B₁作AC的平行线交AB于A₂，根据平行线分线段成比例定理，表示出B₁A₂、A₁A₂，再根据三角形两边之和大于第三边，A₁B₁＜（1-2k）AB+kAC，同理可得B₁C₁＜（1-2k）BC+kAB，A₁C₁＜（1-2k）AC+kBC，然后根据三角形周长定义计算即可．

解答：证明：如图，过B₁作AC的平行线交AB于A₂，
则有

BB1

BC

=

A2B1

AC

=

BA2

AB

=k，
∴A₂B₁=kAC，BA₂=kAB，
∵AA₁=kAB，
∴A₁A₂=AB-AA₁-BA₂=（1-2k）AB，
在△A₁A₂B₁中，A₁B₁＜A₁A₂+B₁A₂=（1-2k）AB+kAC，
同理可得B₁C₁＜（1-2k）BC+kAB，A₁C₁＜（1-2k）AC+kBC，
∴A₁B₁+B₁C₁+A₁C₁＜（1-2k）AB+kAC+（1-2k）BC+kAB+（1-2k）AC+kBC
整理得A₁B₁+B₁C₁+A₁C₁＜（1-k）（AB+BC+CA），
即p₁＜（1-k）p．

点评：本题主要利用三角形的两边之和大于第三边的性质和平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．