Question

如图，在?ABCD中，BD=2AB，AC与BD相交于点O，点E、F、G分别是OC、OB、AD的中点．
求证：（1）DE⊥OC；
（2）EG=EF．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，
∴BD=2OD，AB=CD，AD=BC．…
∵BD=2AB，
∴OD=AB=CD．…
∵点E是OC的中点，
∴DE⊥OC．…

（2）∵DE⊥OC，点G是AD的中点，
∴EG=AD； …
∵点E、F分别是OC、OB的中点．
∴EF=BC．…
∵AD=BC，
∴EG=EF．…
分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，根据平行四边形的性质，即可得BD=2OD，AB=CD，AD=BC，又由BD=2AB，可得△ODC是等腰三角形，根据三线合一的性质，即可证得DE⊥OC；
（2）由DE⊥OC，点G是AD的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得EG=AD，又由三角形中位线的性质，求得EF=BC，则可证得EG=EF．
点评：此题考查了平行线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．