Question

【题目】把两个全等的矩形ABCD和EFGH如图1摆放（点D和点G重合，点C和点H重合），点A、D（G）在同一条直线上，AB＝6cm，BC＝8cm．如图2，△ABC从图1位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，AC与GH交于点P；同时，点Q从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s．点Q停止运动时，△ABC也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜6）．

（1）当t为何值时，CQ∥FH；

（2）过点Q作QM⊥FH于点N，交GF于点M，设五边形GBCQM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻，使点M在线段PC的中垂线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝时，CQ∥FH；（2）（3）存在某一时刻，使点M在线段PC的中垂线上，t的值为s．

【解析】

（1）由矩形的性质得出BC＝EH＝GF＝8cm，AB＝EF＝6cm，∠1B＝∠E＝∠EFG＝90°，由勾股定理得出AC＝FH＝10（cm），由平行线得出△CEQ∽△HEF，根据相似三角形对应边成比例即可得出答案；

（2）证明△FMQ∽△EFH，得出，求出MF＝（6﹣t），当0＜t＜6时，五边形GBCQM的面积为y＝梯形GBEF的面积﹣△CEQ的面积﹣△MFQ的面积，代入面积公式进行计算即可；

（3）由平行线得出△PCH∽△ACB，求出PH＝t，得出PG＝6﹣t，连接PM、CM，作MK⊥BC于K点，则四边形GHKM为矩形，得出MK＝GH＝6，EK＝MF＝（6﹣t），则CK＝8﹣t﹣（6﹣t），由垂直平分线的性质得出PM＝CM，由勾股定理得出方程，解方程即可．

（1）∵四边形ABCD和四边形EFGH是两个全等的矩形，

∴BC＝EH＝GF＝8cm，AB＝EF＝6cm，∠1B＝∠E＝∠EFG＝90°，

∴AC＝FH＝＝10（cm），

当CQ∥FH时，△CEQ∽△HEF，

∴，即，

解得：t＝，

即t＝时，CQ∥FH；

（2）∵QM⊥FH，

∴∠FNQ＝90°＝∠EFG，

∴∠QMF+∠MFN＝∠MFN+∠EFH＝90°，

∴∠QMF＝∠EFH，

∴△FMQ∽△EFH，

∴，即，

解得：MF＝（6﹣t），

当0＜t＜6时，五边形GBCQM的面积为y＝梯形GBEF的面积﹣△CEQ的面积﹣△MFQ的面积

＝（8+8+8﹣t）×6﹣×（8﹣t）×t﹣（6﹣t）×（6﹣t）＝，

即y与t之间的函数关系式为：；

（3）存在，理由如下：

∵AB∥GH，

∴△PCH∽△ACB，

∴，即，

∴PH＝t，

∴PG＝6﹣t，

连接PM、CM，作MK⊥BC于K点，如图2所示：

则四边形GHKM为矩形，

∴MK＝GH＝6，EK＝MF＝（6﹣t），

∴CK＝8﹣t﹣（6﹣t），

若M在PC的垂直平分线上，则PM＝CM，

由勾股定理得：PM2＝PG2+MG2，CM2＝CK2+MK2，

∴PG2+MG2＝CK2+MK2，

即（6﹣t）2+[8﹣（6﹣t）]2＝62+[8﹣t﹣（6﹣t）]2，

整理得： t2﹣2t＝0，

解得：t＝，或t＝0（不合题意舍去），

∴t＝；

即存在某一时刻，使点M在线段PC的中垂线上，t的值为s．