Question

阅读下列材料，并解答后面的问题：
∵

1

1×3

=

1

2

（1-

1

3

），

1

3×5

=

1

2

（

1

3

-

1

5

），…，

1

17×19

=（-

1

19

）
∴

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

17×19

=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

(

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

(

1

17

-

1

19

）
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

17

-

1

19

)
=

1

2

(1-

1

19

)=

9

19

．
（1）在式子

1

1×3

+

1

3×5

+…中，第五项为

 

，第n项为

 

．
（2）计算：

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+…+

1

(x+99)(x+100)

．

Answer 1

分析：（1）根据式子的特点可知：第n个式子中分子是两个连续的奇数相乘，第n个式子，第一个奇数是从1开始第n个奇数，据此即可写出两个式子；
（2）把每个项分成两个分式相减，即可化简求解．

解答：解：（1）第五项是

1

9×11

，第n项是：

1

(2n-1)(2n+1)

；
（2）原式=

1

x

-

1

x+1

+

1

x+1

-

1

x+2

+…+

1

x+99

-

1

x+100

=

1

x

-

1

x+100

=

100

x(x+100)

．

点评：本题考查了分式的加减，关键是正确理解已知中的提示，可以把一个分式分解成两个分式的和或差．