Question

【题目】如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（＜45°）．先将△ABC以点B为旋转 中心，逆时针旋转90°得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°得到△AFG，连接DF，DG，AE，如图②．

（1）四边形ABDF的形状是 ；

（2）求证：四边形AEDG是平行四边形；

（3）若AB=2，=30°，则四边形AEDG的面积是 ．

Answer 1

【答案】（1）正方形；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）由旋转的性质和旋转角度可求得DE∥AF，且DE=AF，可证明四边形AFDE为平行四边形，再由旋转角是90°，即可得出结论；
（2）由旋转的性质和旋转角度判断出△ABE≌△DFG即可得出结论．

（3）过B作BH⊥AC于H，过点E作EM⊥AB于M，作∠BEN=∠ABE交AB于N，利用直角三角形的性质分别求出BH，AH，CH，BE，BC，计算出∠MNE=30°，设ME=x，则NE=2x，BN=x，利用勾股定理Rt△BME中解出x值，即ME的长度，再利用S四边形AEDG=S正方形ABDF-2S△DBE-2S△ABE计算结果即可.

解：（1）四边形ABDF是正方形，

证明：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的，
∴∠DBA=∠FAB=90°，DB=AB=AF，AC=DE=AG，
∴∠DBA+∠FAB=180°，
∴DB∥AF，
∵AB=AC，

∴AB=DB=FA=AC=DE=AG，

∵DB∥AF，DB=AF
∴四边形ABDF是平行四边形，

∵∠ABD=90°，

∴四边形ABDF是矩形，
∵AB=DB，
∴平行四边形ABDF是正方形；

（2）∵四边形ABDF是正方形，
∴∠DFA=∠DBA=90°，AB=DF，
∴∠ABD-∠DBE=∠AFD-∠AFG，
∴∠EBA=∠GFD，
在△ABE和△DFG中，

，

∴△ABE≌△DFG（SAS），
∴AE=DG，
又∵DE=AG=AB，
∴四边形AEDG是平行四边形．

（3）过B作BH⊥AC于H，过点E作EM⊥AB于M，作∠BEN=∠ABE交AB于N，

∵AB=2，∠BAC=30°，

∴BH=AB=1，

AH=，

∴CH=AC-AH=AB-AH=2-，

∴BC==,

∴BE=BC=，

∵∠BDE=∠BAC=α=30°，DB=DE，

∴∠DBE=∠DEB==75°，

∴∠ABE=∠ABD-∠DBE=90°-75°=15°，

∴∠BEN=∠ABE=15°，

∴∠MNE=∠NBE+∠BEN=15°+15°=30°，

设ME=x，则NE=2x，BN=x，

MN=，

∴BM=BN+NM=2x+x，

在Rt△BME中，BM2+ME2=BE2，

即，

解得，（舍），

∴x=，

∴ME=，

∴S△DBE=S△ABC=AC×BH=×2×1=1，

S△ABE=AB×ME=×2×（）=，

∴S四边形AEDG

=S正方形ABDF-2S△DBE-2S△ABE

=

=