Question

如图，在等腰△ABC中，点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1=∠2．
（1）求证：OD=OE；
（2）求证：四边形ABED是等腰梯形；
（3）若AB=3DE，△DCE的面积为2，求四边形ABED的面积．

Answer 1

分析：（1）如图，由△ABC是等腰三角形，得到∠BAD=∠ABE，然后利用已知条件证明△ABD≌△BAE，由全等三角形的性质得到BD=AE，又由∠1=∠2得到OA=OB，由此即可证明OD=OE；
（2）由（1）得OD=OE根据等腰三角形的性质得到∠OED=∠ODE，根据三角形的内角和得到∠OED=

1

2

（180°-∠DOE），∠1=

1

2

（180°-∠AOB），而∠DOE=∠AOB，所以得到∠1=∠OED，然后利用平行线的判定得到DE∥AB，最后证明AD与BE不平行，这样就可以证明梯形ABED是等腰梯形；
（3）由（2）可知DE∥AB，然后得到△DCE∽△ACB，接着利用相似三角形的性质即可求出S_△ACB，然后就可以求出S_{四边形ABED}．

解答：（1）证明：如图，∵△ABC是等腰三角形，
∴AC=BC，
∴∠BAD=∠ABE，
又∵AB=BA、∠2=∠1，
∴△ABD≌△BAE（ASA），
∴BD=AE，
又∵∠1=∠2，
∴OA=OB，
∴BD-OB=AE-OA，
即：OD=OE；

（2）证明：由①得OD=OE，
∴∠DOE=∠BOA，

DO

BO

=

EO

AO

，
∴△DOE∽△BOA，
∴∠EDO=∠ABO，
∴DE∥AB，
又∵∠DAB=∠EBA，
∴四边形ABEO为等腰梯形；

（3）解：由（2）可知：DE∥AB，
∴∠CED=∠CBA，∠CDE=∠CAB，
∴△DCE∽△ACB（AA），
∴

S△DCE

S△ACB

=（

DE

AB

）²，
即

2

S△ACB

=（

DE

3DE

）²=

1

9

．
∴S_△ACB=18，
∴S_{四边形ABED}=S_△ACB-S_△DCE=18-2=16．

点评：此题考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及等腰梯形的判定，有一定的综合性，要求学生熟练掌握相关的基础知识才能很好解决这类问题．