Question

【题目】如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，AD= ，E为CD中点，连接AE，且AE=2 ，∠DAE=30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF=（ ）

A.1
B.3﹣
C. ﹣1
D.4﹣2

Answer 1

【答案】D
【解析】解：如图，延长AE交BC的延长线于G，

∵E为CD中点，

∴CE=DE，

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠G=30°，

在△ADE和△GCE中，

，

∴△ADE≌△GCE（AAS），

∴CG=AD= ，AE=EG=2 ，

∴AG=AE+EG=2 +2 =4 ，

∵AE⊥AF，

∴AF=AGtan30°=4 × =4，

GF=AG÷cos30°=4 ÷ =8，

过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，

则MN=AD= ，

∵四边形ABCD为等腰梯形，

∴BM=CN，

∵MG=AGcos30°=4 × =6，

∴CN=MG﹣MN﹣CG=6﹣ ﹣ =6﹣2 ，

∵AF⊥AE，AM⊥BC，

∴∠FAM=∠G=30°，

∴FM=AFsin30°=4× =2，

∴BF=BM﹣MF=6﹣2 ﹣2=4﹣2 ．

所以答案是：D．

【考点精析】掌握平行线的性质和等腰梯形的性质是解答本题的根本，需要知道两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；等腰梯形的两腰相等；同一底上的两个角相等；两条对角线相等．