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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知抛物线y=ax2-2ax+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（-1，0），O是坐标原点，且OC=3OA．点E为线段BC上的动点（点E不与点B，C重合），以E为顶点作∠OEF=45°，射线ET交线段OB于点F．
    （1）求出此抛物线函数表达式，并直接写出直线BC的解析式；
    （2）求证：∠BEF=∠COE；
    （3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；
    （4）点P为抛物线的对称轴与直线BC的交点，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以点A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）利用已知得出C点坐标，进而利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式；
    （2）利用等腰直角三角形的性质以及三角形的外角知识得出∠BEF=∠COE；
    （3）首先得出OE＞OF即OE≠OF，再利用当OE=EF时，当OF=EF时分别得出即可；
    （4）①AP为边，此时P点纵坐标为2或-2，②AP为对角线，设M为（x，0）则N为（-x，-2）进而得出M点坐标．
    解答：解：（1）∵点A的坐标是（-1，0），则AO=1，OC=3OA=3，
    ∴C为（0，-3）
    ∵抛物线过（-1，0）和（0，-3）
    ∴
    a+2a+c=0
    c=-3
    ∴
    a=1
    c=-3

    ∴此抛物线函数表达式为：y=x2-2x-3，
    ∵y=x2-2x-3=（x-3）（x+1），
    ∴B点坐标为：（3，0），
    设BC直线解析式为：y=kx+b，
    b=-3
    3k+b=0
    ，
    解得：
    k=1
    b=-3
    ，
    直线BC的解析式：y=x-3；

    （2）∵OB=OC=3
    ∴∠OCB=∠OBC=45°
    又∵∠OEF+∠BEF=∠COE+∠OCB
    且∠OEF=45°
    ∴∠BEF=∠COE；

    （3）①∵∠OFE=∠BEF+∠OBC＞45°
    ∴∠OFE＞∠OEF
    ∴OE＞OF即OE≠OF．
    ②当OE=EF时，
    在△COE和△BEF中
    ∠BEF=∠COE
    ∠OCE=∠EBF
    OE=EF
    ，
    ∴△COE≌△BEF（AAS），
    ∴BE=CO=3．
    过E作ED⊥x轴于D．
    ∴ED=BD=BEcos45°=
    3
    		2
    2
    ，
    ∴OD=3-
    3
    		2
    2
    ，
    ∴E为（3-
    3
    		2
    2
    ，-
    3
    		2
    2
    ）；
    ③当OF=EF时，则∠FOE=∠OEF=45°
    ∴∠OFE=90°．∴EF⊥OB．
    ∴E为BC的中点，∴E为(
    3
    2
    ，-
    3
    2
    )    ．

    （4）对称轴为x=1，
    ∴P为（1，-2）．
    ①AP为边，
    此时P点纵坐标为2或-2，
    令x2-2x-3=2
    即x2-2x-5=0
    ∴x1=1+
    		6
    ，x2=1-
    		6
    ，
    ∴N为（1+
    		6
    ，2）或（1-
    		6
    ，2），
    故M为（3+
    		6
    ，0）或（3-
    		6
    ，0），
    令x2-2x-3=-2
    即x2-2x-1=0，
    ∴x1=1+
    		2
    ，x2=1-
    		2
    ，
    ∴N为（1+
    		2
    ，2）或（1-
    		2
    ，2），
    故M为（-1+
    		2
    ，0）或（-1-
    		2
    ，0），
    ②AP为对角线，
    设M为（x，0）
    则N为（-x，-2）
    ∴x2+2x-3=-2
    x2+2x-1=0
    ∴x1=-1+
    		2
    ，x2=-1-
    		2
    ，
    故M为（-1+
    		2
    ，0）或（-1-
    		2
    ，0），
    综上所述：M为（3+
    		6
    ，0）或（3-
    		6
    ，0）或（-1+
    		2
    ，0）或（-1-
    		2
    ，0）．
    点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及平行四边形的性质和等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想得出是解题关键．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求直线BC的函数解析式；
    （3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
    （4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

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    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）精英家教网、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．

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    （2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
    （1）求抛物线对应的函数关系式；
    （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
    ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
    ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

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    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）①当x的取值范围满足条件
    -2＜x＜0
    -2＜x＜0
    时，y＜-3；
         ②若D（m，y1），E（2，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
    （3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
    （4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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