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    以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，联结AC、BC，并延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，联结OF．

    （1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；

    （2）如图②，当DE=8时，求线段EF的长；

    （3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．

     


    解：（1）联结OC

    ∵C为DB中点     ∴OC=BC=OB

    ∴△OBC是等边三角形

    ∴∠B=60°

    ∵AB为直径

    ∴∠ACB=90°

    ∴∠BAC=30°       

     （2）联结DA

    ∵AC垂直平分BD

    ∴AB=AD=10

    ∵DE=8，DE⊥AB

    ∴AE=6

    ∴BE=4

    ∵∠FAE+∠AFE=90°，∠CFD+∠CDF=90°

    ∴∠CDF=∠EAF

    ∵∠AEF=∠DEB=90°

    ∴△AEF∽△DEB

    ∴

    ∴EF=3                         -

    （3）①当交点E在O、A之间时，

    若∠EOF=∠BAC，则OE=

    若∠EOF=∠ABC，则OE=

    ②当交点E在O、B之间时，OE=

    综上所述，OE=或或          

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    DF
    OF
    =
    DE
    OA
    =
    1
    2
    ；
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    π
    8
    π
    8
    ．

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    以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．
    （1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；
    （2）如图②，当DE=8时，求线段EF的长；
    （3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．

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