Question

在一个面积为l的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边n等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连接起来，如图所示，若小正方形面积为

1

3281

，求n的值．

Answer 1

分析：根据已知条件可得A₁B=

n-1

n

，CC₁=

1

n

，A₁C=

12+( n-1 n )2

，然后过C₁作
C₁P⊥A₁C于P，利用Rt△A₁BC∽Rt△CPC₁，可得C₁P，将小正方形面积为

1

3281

，代入即可得出答案．

解答：解：A₁B=

n-1

n

，CC₁=

1

n

，A₁C=

12+( n-1 n )2

，
过C₁作C₁P⊥A₁C于P，则Rt△A₁BC∽Rt△CPC₁，
得C₁P=

BC×CC1

A1C

=

1

2n2-2n+1

．
∵S_面=

1

3281

，∴C₁P²=

1

2n2-2n+1

=

1

3281

，
得（n-41）（n+40）=0，故n_₁=41，n_₂=-40（舍去）．
故答案为：41．

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质等知识点的理解与掌握，解答此题的关键是
过C₁作C₁P⊥A₁C于P，利用Rt△A₁BC∽Rt△CPC₁，求得C₁P，这是此题的突破点．