Question

已知：在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE=2.

（1）如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；

（2）如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF=a时，求△GFC的面积（用含a的代数式表示）；

（3）在（2）的条件下，△GFC的面积能否等于2？请说明理由.

Answer 1

解：（1）如图①，过点G作于M.

          在正方形EFGH中，

   .           

         

         又∵，

          ∴⊿AHE≌⊿BEF.                   ………………………2分

同理可证：⊿MFG≌⊿BEF.         

         ∴GM=BF=AE=2.

         ∴FC=BC-BF=10.                   

       （2）如图②，过点G作于M.连接HF.

       

                           

又

∴⊿AHE≌⊿MFG.                  

∴GM=AE=2.                         

 

（3）⊿GFC的面积不能等于2.         

∵若则12- a =2，∴a=10.

此时，在⊿BEF中，

 

在⊿AHE中，

.

 ∴AH＞AD.

即点H已经不在边AB上.

故不可能有    

解法二：⊿GFC的面积不能等于2.      

∵点H在AD上，

∴菱形边长EH的最大值为.

∴BF的最大值为.            

又因为函数的值随着a的增大而减小，

所以的最小值为.      

又∵，∴⊿GFC的面积不能等于2.