Question

（1997•山东）如图，已知A是⊙O上一点，以A为圆心作圆交⊙O于B、C两点，E是弦BC上一点，连接AE并延长⊙O于D，连接BD、CD．设∠BDC=2α．
（1）求证：BD•CD=AD•ED；
（2）若ED：AD=

3

4

cos²α，求作一个以

DB

AD

和

CD

AD

为根的一元二次方程，并求出

BD

CD

的值．

Answer 1

分析：（1）如图，连接AB、AC．通过证明△DBA∽△DEC，得到对应边成比例，即BD：DE=AD：CD，所以BD•CD=AD•ED；
（2）如图，过点A作AF⊥BC于点F．则F为BC的中点．通过△ABE∽△ADB的对应边成比例得到

BD

AD

=

BE

AB

．通过△AEC∽△ACD的对应边成比例得到

CD

AD

=

EC

AC

，然后求得以

DB

AD

和

CD

AD

为根的一元二次方程两根之和和两根之积分别是

BD

AD

+

CD

AD

=2cosα，

BD

AD

•

CD

AD

=

AD•ED

AD2

=

ED

AD

=

3

4

cos²α，所以该方程为x²-2cosα•x+

3

4

cos²α=0．解得，x₁=

1

2

cosα，x₂=

3

2

cosα．需要分类讨论：当BD＜CD时，

BD

CD

=

BD AD

CD AD

=

x1

x2

=

1

3

；当BD＞CD时，

BD

CD

=

BD AD

CD AD

=

x2

x1

=3．

解答：（1）证明：如图，连接AB、AC．
∵A是⊙O上一点，以A为圆心作圆交⊙O于B、C两点，
∴AB=AC，

AC

=

AB

，
∴∠ADB=∠ADC，．
又∵∠BAD=∠BCD，
∴△DBA∽△DEC，
∴BD：DE=AD：CD，
∴BD•CD=AD•ED；

（2）如图，过点A作AF⊥BC于点F．则F为BC的中点．
∵∠BDC=2α．
∴∠ACB=∠ABC=α，则FC=AC•cosα，
∴BC=2FC=2AC•cosα．
∵∠ABE=∠ADB，∠BAD=∠BAE，
∴△ABE∽△ADB，
∴

BD

AD

=

BE

AB

．
同理，△AEC∽△ACD，则

CD

AD

=

EC

AC

，
∴

BD

AD

+

CD

AD

=

BE

AB

+

EC

AC

=

BE+EC

AC

=

BC

AC

=2cosα．
又由（1）知，BD•CD=AD•ED，
∴

BD

AD

•

CD

AD

=

AD•ED

AD2

=

ED

AD

=

3

4

cos²α，
∴以

DB

AD

和

CD

AD

为根的一元二次方程为x²-2cosα•x+

3

4

cos²α=0．
解得，x₁=

1

2

cosα，x₂=

3

2

cosα．
当BD＜CD时，

BD

CD

=

BD AD

CD AD

=

x1

x2

=

1

3

；
当BD＞CD时，

BD

CD

=

BD AD

CD AD

=

x2

x1

=3．

点评：本题综合考查了相交两圆的性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质以及一元二次方程等知识点．难度比较大．