Question

【题目】如图所示，AB是半圆O的直径，AC是弦，点P沿BA方向，从点B运动到点A，速度为1cm/s，若AB=10cm，点O到AC的距离为4cm．

（1）求弦AC的长；

（2）问经过多长时间后，△APC是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）AC=6；（2）t=4或5或s时，△APC是等腰三角形；

【解析】

（1）过O作OD⊥AC于D，根据勾股定理求得AD的长，再利用垂径定理即可求得AC的长；（2）分AC=PC、AP=AC、AP=CP三种情况求t值即可.

（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，

易知AO=5，OD=4，

从而AD==3，

∴AC=2AD=6；

（2）设经过t秒△APC是等腰三角形，则AP=10﹣t

①如图2，若AC=PC，过点C作CH⊥AB于H，

∵∠A=∠A，∠AHC=∠ODA=90°，

∴△AHC∽△ADO，

∴AC：AH=OA：AD，即AC： =5：3，

解得t=s，

∴经过s后△APC是等腰三角形；

②如图3，若AP=AC，

由PB=x，AB=10，得到AP=10﹣x，

又∵AC=6，

则10﹣t=6，解得t=4s，

∴经过4s后△APC是等腰三角形；

③如图4，若AP=CP，P与O重合，

则AP=BP=5，

∴经过5s后△APC是等腰三角形．

综上可知当t=4或5或s时，△APC是等腰三角形．