Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣4交x轴于A、B两点，交y轴于点C.

(1)点P为线段BC下方抛物线上的任意一点，一动点G从点P出发沿适当路径以每秒1个单位长度运动到y轴上一点M，再沿适当路径以每秒1个单位长度运动到x轴上的点N，再沿x轴以每秒个单位长度运动到点B.当四边形ACPB面积最大时，求运动时间t的最小值；

(2)过点C作AC的垂线交x轴于点D，将△AOC绕点O旋转，旋转后点A、C的对应点分别为A1、C1，在旋转过程中直线A1C1与x轴交于点Q.与线段CD交于点I.当△DQI是等腰三角形时，直接写出DQ的长度.

Answer 1

【答案】(1)t的最小值为；(2)DQ的长度为或或﹣或或.

【解析】

(1)过点B作BK⊥BC交y轴于点K，作P′H⊥BK交BK于点H、交y轴于点M、交x轴于点N，则此时运动的时间最小，即可求解；

(2)将△AOC绕点O旋转，相当于存在一个半径为OR圆O，在整个旋转过程中，AC始终为垂直于OR的切线，确定圆的半径OR后，分OR靠近x轴、y轴两种大情况，分别在四个象限逐次求解即可.

解：(1)作PS∥y轴交BC于S，

y＝x2﹣x﹣4，令x＝0，则y＝﹣4，令y＝0，则x＝-3或4，

故点A、B、C的坐标分别为(﹣3，0)、(4，0)、(0，﹣4)，

则直线BC的表达式为：y＝x﹣4，

S四边形ACPB＝S△ABC+S△PBC，

∵S△ABC为常数，

∴只要S△PBC取得最大值，四边形ACPB面积即为最大，

设点P(x，x2﹣x﹣4)，则点S(x，x﹣4)，

S△PBC＝×PS×OB＝×4×(x﹣4﹣x2+x+4)＝x2+x，

∵<0，则S△PBC有最大值，即四边形ACPB面积有最大值，

此时，x＝2，故点P(2，﹣).

作点P关于y轴的对称点P′(﹣2，﹣)，

过点B作BK⊥BC交y轴于点K，作P′H⊥BK交BK于点H、交y轴于点M、交x轴于点N，

则此时运动的时间最小，

t＝P′M+MN+BN＝PM+MN+HN，

直线BK⊥BC，则直线BK的表达式为：y＝﹣x+b，

将点B的坐标代入上式并解得：

直线BK的表达式为：y＝﹣x+4…①，

同理可得直线P′H的表达式为：y＝x﹣…②，

联立①②并解得：x＝，

故点H(，)，

则t＝P′H＝＝，

故运动时间t的最小值为；

(2)∵AC⊥AD，

则直线CD的表达式为：y＝x﹣4，

故点D(，0)；

如图2，过点O作OR⊥AC于点R，

由面积公式得：OR×AC＝OA×OC，

即：OR＝ ＝，

设∠ODC＝α，则tanα＝，sinα＝，

则tan2α＝，tan＝(证明见备注)，

情况一：当OR靠近y轴时，

①当OR在一、三象限时，如图3，4：

在图3中，IQ＝ID，

则OQ＝＝＝4，

故QD＝+4＝；

在图4中，IQ＝ID，

同理QD＝﹣4＝；

②当OR在二、四象限时，如图5，6：

在图5中，DI＝DQ，

则∠DQI＝∠DIQ＝∠ODC＝α，

OQ＝＝，

则DQ＝﹣，

在图6中，是与线段CD的延长线相交，不符合题意；

情况二：当OR靠近x轴时，

如下图：当点R在二、四象限时，如图7，

见左侧图，是与线段DC的延长线相交，不符合题意；

见右侧图，同理可得：DQ＝﹣＝；

当点R在一、三象限时，如图8，

见左侧图，同理可得：DQ＝﹣

见右侧图，是与线段DC的延长线相交，不符合题意；

综上所述，DQ的长度为或或﹣或+或或或或.

备注：已知tanα＝，求tan2α和tan.

如图△ABD是以BD为底的等腰三角形，AC⊥BD，过点D作DH⊥AB，

则设：∠DAC＝∠BAC＝α，tanα＝，设BC＝CD＝3a，则AC＝4a，

由三角形的面积公式得：AH×AB＝DB×AC，

解得：AH＝＝，

则sin2α＝sin∠BAD＝＝，tan2α＝，

同理可得：tan＝.