Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△MBN的位置，则整个旋转过程中，线段OH扫过的部分的面积（即图中阴影部分面积）为

π

．

Answer 1

分析：根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长度，再根据勾股定理求出AC的长度，然后根据中点定义求出OB、CH的长度，再利用勾股定理求出BH的长度，然后根据旋转变换的性质可得阴影部分的面积等于以BH为半径的扇形面积减去以OB为半径的扇形的面积，然后列式进行计算即可得解．

解答：解：∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，
∴AB=2BC=4，
∴AC=

AB2-BC2

=

42-22

=2

3

，
∵O、H分别为AB、AC的中点，
∴OB=

1

2

AB=2，CH=

1

2

AC=

3

，
在Rt△BCH中，BH=

BC2+CH2

=

22 + 3 2

=

7

，
∵旋转角度为120°，
∴阴影部分的面积=

120•π•BH2

360

-

120•π•BO2

360

=

7π-4π

3

=π．
故答案为：π．

点评：本题考查了扇形的面积计算，直角三角形的性质，旋转变换的性质，观察出阴影部分的面积的表示是解题的关键．