Question

【题目】如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，．点在函数图像上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．

（1）求、的值；

（2）如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；

（3）如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为和

【解析】

试题分析： （1）根据二次函数的对称轴公式，抛物线上的点代入，即可；（2）先求F的对称点，代入直线BE，即可；（3）构造新的二次函数，利用其性质求极值.

试题解析：.解：（1） 轴， ， 抛物线对称轴为直线

点的坐标为

解得 或 （舍去），

（2）设点的坐标为 对称轴为直线点关于直线 的对称点 的坐标为.

直线 经过点 利用待定系数法可得直线的表达式为 .

因为点在上， 即点的坐标为

（3）存在点 满足题意.设点坐标为 ，则

作 垂足为

①点 在直线的左侧时，点的坐标为点的坐标为点的坐标为 在中， 时， 取最小值 .此时点的坐标为

②点在直线的右侧时，点的坐标为同理， 时， 取最小值 .此时点的坐标为

综上所述：满足题意得点的坐标为和