Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是

AD

的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q．
（1）求证：P是△ACQ的外心；
（2）若tan∠ABC=

3

4

，CF=8，求CQ的长；
（3）求证：（FP+PQ）²=FP•FG．

Answer 1

（1）证明：∵C是

AD

的中点，∴

AC

=

CD

，
∴∠CAD=∠ABC
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∴∠CAD+∠AQC=90°
又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°
∴∠AQC=∠PCQ
∴在△PCQ中，PC=PQ，
∵CE⊥直径AB，∴

AC

=

AE

∴

AE

=

CD

∴∠CAD=∠ACE．
∴在△APC中，有PA=PC，
∴PA=PC=PQ
∴P是△ACQ的外心．

（2）∵CE⊥直径AB于F，
∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC=

CF

BF

=

3

4

，CF=8，
得BF=

32

3

．
∴由勾股定理，得BC=

CF2+BF2

=

40

3

∵AB是⊙O的直径，
∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=

AC

BC

=

3

4

，BC=

40

3

，
∴AC=10，
易知Rt△ACB∽Rt△QCA，
∴AC²=CQ•BC，
∴CQ=

AC2

BC

=

15

2

；

（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°
∴∠DAB+∠ABD=90°
又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°
∴∠DAB=∠G；
∴Rt△AFP∽Rt△GFB，
∴

AF

FG

=

FP

BF

，即AF•BF=FP•FG
易知Rt△ACF∽Rt△CBF，
∴CF²=AF•BF（或由射影定理得）
∴FC²=PF•FG，
由（1），知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC
∴（FP+PQ）²=FP•FG．