Question

【题目】在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BE 平分∠ABC，D 是边 AB 上一点，以 BD为直径的⊙O 经过点 E，且交 BC 于点 F．

（1）求证：AC 是⊙O 的切线；

（2）若 BC＝8，⊙O 的半径为 5，求 CE 的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4

【解析】

（1）连接OE，证明∠OEA=90°即可；
（2）连接OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，利用垂径定理和勾股定理计算出OH的长，进而求出CE的长．

（1）证明：连接OE．

∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠EBC，
∴∠EBC=∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA=∠ACB，
∵∠ACB=90°，
∴∠OEA=90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，

由题意可知四边形OECH为矩形，
∴OH=CE，OE=CH=5，
∵BC=8，
∴BH=BC-HC= BC-OE =8-5 =3，
在Rt△BHO中，OB=5，
∴OH=，

∴CE=OH=4．