Question

（2012•丰台区二模）在△ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得∠ABP=∠ACP．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F．
（1）如图1，当AB=AC时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论；
（2）如图2，当AB≠AC，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由PE⊥AC，PF⊥AB得到∠PEB=∠PFC=90°，又∠ABP=∠ACP，易证得Rt△PEB≌Rt△PFC，则BE=CF，由于AB=AC，则∠ABC=∠ACB，而点D为BC的中点，则DB=DC，可证得△DBE≌△DCF，即可得到DE=DF；
（2）结论成立．分别取BP、CP的中点M、N，连接EM、DM、FN、DN．利用三角形中位线性质得到DN=

1

2

BP，DN∥BP，EM=BM=

1

2

BP，可证明四边形MDNP为平行四边形，然后证明△EMD≌△DNF．

解答：解：（1）DE=DF．…（1分）

（2）DE=DF不发生改变．…（2分）
理由如下：分别取BP、CP的中点M、N，连接EM、DM、FN、DN．
∵D为BC的中点，
∴DN=

1

2

BP，DN∥BP．…（3分）
∵PE⊥AB，
∴EM=BM=

1

2

BP．
∴DN=EM，∠1=∠2．
∴∠3=∠1+∠2=2∠1．…（4分）
同理DM=FN，∠5=2∠4，MD∥PC．
∴四边形MDNP为平行四边形．…（5分）
∴∠6=∠7．
∵∠1=∠4，
∴∠3=∠5．
∴∠EMD=∠DNF．…（6分）
在△EMD和△DNF中，
∵

EM=DN ∠EMD=∠DNF DM=FN

，
∴△EMD≌△DNF（SAS）．
∴DE=DF．…（7分）

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两个角和其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的定理以及平行四边形的判定与性质．