Question

已知正方形ABCD的边长为6，以D为圆心，DA为半径在正方形内作弧AC，E是AB边上动点（与点A、B不重合），过点E作弧AC的切线，交BC于点F，G为切点，⊙O是△EBF的内切圆，分别切EB、BF、FE于点P、J、H
（1）求证：△ADE∽△PEO；
（2）设AE=x，⊙O的半径为y，求y关于x的解析式，并写出定义域；
（3）当⊙O的半径为1时，求CF的长；
（4）当点E在移动时，图中哪些线段与线段EP始终保持相等，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由EA与EG是⊙D的切线，根据切线长定理即可得∠AED=∠FED，又由⊙O是△EBF的内切圆，易证得∠AED=∠EOP，然后根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ADE∽△PEO；
（2）首先根据题意求得AD，OP，PE的长，然后由△ADE∽△PEO，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得y关于x的解析式；
（3）由⊙O的半径为1时，根据（2）中的解析式，即可求得AE的长，然后设CF=a，根据切线长定理可得1=

4+6-a-(a+2)

2

，则可求得CF的长；
（4）结合（2），由EP=6-x-y，即可求得EP=

36-6x

6+x

，然后在Rt△BEF中利用勾股定理，求得CF的值，又由切线长定理可得EP=EH=CF=GF．

解答：（1）证明：∵EA与EG是⊙D的切线，
∴∠AED=∠FED，
∵⊙O是△EBF的内切圆，
∴∠PEO=∠HEO，∠EPO=90°，
∴∠AED+∠PEO=90°，∠PEO+∠EOP=90°，
∴∠AED=∠EOP，
∴△ADE∽△PEO；（3分）

（2）解：∵AE=x，⊙O的半径为y，
∴OP=PB=y，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴AD=AB=6，
∴PE=AB-AE-PB=6-x-y，
∵△ADE∽△PEO，
∴

OP

AE

=

PE

AD

，
即

y

x

=

6-x-y

6

，
整理得y=

6x-x2

x+6

，定义域为0＜x＜6；（6分）

（3）解：当y=1时，求得x=2或x=3，
设CF=a，当x=2时，EF=a+2，BF=6-a，EB=4，
∴1=

4+6-a-(a+2)

2

，解得a=3，
同理，当x=3时，解得a=2；（9分）

（4）EP=EH=CF=GF，
证明：EP=6-x-y=6-x-

6x-x2

6+x

=

36-6x

6+x

，
由BE²+BF²=EF²得（6-x）²+（6-a）²=（a+x）²，
整理得a=

36-6x

6+x

，
∴EP=CF，根据切线长定理即可得EP=EH=CF=GF．（12分）

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，切线长定理，内切圆的性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．