Question

已知关于x的方程x2-(m-2)x-

m2

4

=0
（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x₁，x₂满足|x₂|=|x₁|+2，求m的值及相应的x₁、x₂．

Answer 1

分析：（1）根据方程根的判别式判断根的情况，只要证明判别式△的值恒为正值即可；
（2）|x₂|=|x₁|+2，即|x₂|-|x₁|=2，两边平方后再配方得（x₁+x₂）²-4|x₁x₂|=4，再根据根与系数的关系用m表示出两根的和与两根的积，代入得到关于m的方程，即可求得m的值．

解答：解：（1）∵a=1，b=-（m-2），c=-

m2

4

，
∴△=b²-4ac=[-（m-2）²]-4×1×（-

m2

4

）
=2m²-4m+4=2（m-1）²+2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵a=1，b=-（m-2），c=-

m2

4

，
∴x₁+x₂=m-2，
∵方程总有两个的实数根
∴x₁•x₂=-

m2

4

≤0，
∴x₁与x₂异号或有一个为0，由|x₂|=|x₁|+2，|x₂|-|x₁|=2，
当x₁≥0，x₂＜0时，-x₂-x₁=2，即-（m-2）=2，解得m=0，
此时，方程为x²+2x=0，解得x₁=0，x₂=-2；
当x₁≤0，x₂＞0时，x₂+x₁=m-2=2，解得m=4，
当m=4时，x²-2x-4=0，
∴x₁=1-

5

，x₂=1+

5

．

点评：总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
此题不仅考查了根的判别式的应用，还应用了根与系数的关系以及配方法的运用，增根的判断．