Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，的坐标分别，，，以为顶点的抛物线过点．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段向点匀速运动，过点作轴，交对角线于点．设点运动的时间为（秒）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若分的面积为的两部分，求的值；

（3）若动点从出发的同时，点从出发，以每秒1个单位的速度沿线段向点匀速运动，点为线段上一点．若以，，，为顶点的四边形为菱形，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的值为或；（3）的值为或．

【解析】

（1）运用待定系数法求解；

（2）根据已知，证，，可得或；

（3）分两种情况：当为菱形的对角线时：由点，的横坐标均为，可得．求直线的表达式为，再求N的纵坐标，得，根据菱形性质得，可得．在中，得．同理，当为菱形的边时：由菱形性质可得，．由于，所以．结合三角函数可得.

解：（1）因为，矩形的顶点，，的坐标分别，，，

所以A的坐标是（1,4），可设函数解析式为：

把代入可得，a=-1

所以，即．

（2）因为PE∥CD

所以可得．

由分的面积为的两部分，可得

所以，解得．

所以，的值为=（秒）．

或，解得．

所以，的值为．

综上所述，的值为或．

（3）当为菱形的对角线时：

由点，的横坐标均为，可得

．

设直线AC的解析式为，把A,C的坐标分别代入可得

解得

所以直线的表达式为．

将点的横坐标代入上式，得

．

即．

由菱形可得，．

可得．

在中，得．

解得，，t2=4（舍）．

当为菱形的边时：

由菱形性质可得，．

由于，

所以．

因为．

由，得

．

解得，，

综上所述，的值为或．