Question

如图，四边形ABCD中，AD=2，∠A=∠D=90°，∠B=60°，BC=2CD．
（1）在AD上找到点P，使PB+PC的值最小．保留作图痕迹，不写证明；
（2）求出PB+PC的最小值．

Answer 1

分析：（1）延长CD到点E使DE=CD，连接BE交AD于点P，PB+PC的最小值即为BE的长；
（2）过点E作EH⊥AB，交BA的延长线于点H，先根据∠A=∠ADC=90°得出CD∥AB，再由平行线的性质得出∠1=∠3，再由BC=2CD，CE=2CD可知BC=CE，通过等量代换得出∠3=∠2．再由直角三角形的性质即可得出结论．

解答：解：（1）如图，延长CD到点E使DE=CD，连接BE交AD于点P，PB+PC的最小值即为BE的长；

（2）过点E作EH⊥AB，交BA的延长线于点H．
∵∠A=∠ADC=90°，
∴CD∥AB．
∵AD=2，
∴EH=AD=2．               
∵CD∥AB，
∴∠1=∠3．
∵BC=2CD，CE=2CD，
∴BC=CE．
∴∠1=∠2．
∴∠3=∠2．
∵∠ABC=60°，
∴∠3=30°．                
在Rt△EHB中，∠H=90°，
∴BE=2HE=4，即PB+PC的最小值为4．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间线段最短是解答此题的关键．”