Question

【题目】如图,在平面直角坐标系中，点A与点B关于原点O对称，点A,点C，点P在直线BC上运动.

(1)连接AC、BC，求证：△ABC是等边三角形；

(2)求点P的坐标,使∠APO=；

(3)在平面内,平移直线BC,试探索:当BC在不同位置时,使∠APO=的点P的个数是否保持不变?若不变,指出点P的个数有几个?若改变,指出点P的个数情况,并简要说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）（0，），（1，）；（3）见解析.

【解析】

（1）如图（见解析），根据A、B、C三点的坐标求出AB、AC、BC的长，即可得证；

（2）由题（1）的结论可知，，因此当点P与点C重合，符合条件；如图（见解析），取BC的中点，连接，由等边三角形性质可得，则，故点也符合条件，最后根据为BC边上的中点即可求得其坐标；

（3）因为以AO为弦画圆，AO所对的圆心角等于，则根据圆周角定理得，直线BC与圆的交点P即为满足条件的点，又因这样的圆共有2个：如图（见解析），逐一分析直线BC与两圆的位置关系即可得.

（1）根据A、B、C三点的坐标可得：

在中，

在中，

则

故是等边三角形；

（2）是等边三角形

则当点P与点C重合，符合条件，此时P的坐标为；

当点P与点C不重合时，取BC的中点，连接

由等边三角形的性质得：

，故点就是符合条件的点

又

是等边三角形

过作

（是的中位线）

则点的坐标是

综上，所求点P的坐标为，；

（3）当BC在不同位置时，点P的个数会发生改变，使得的点P的个数情况共有4种：1个，2个，3个，4个，理由如下：

如图，以AO为弦画圆，AO所对的圆心角等于的圆共有2个，记作圆Q和圆，显然点Q和点关于x轴对称

因为直线BC与圆Q和圆的公共点P都满足

所以点P的个数情况如下：

①有1个：直线BC与圆Q（或圆）相切

②有2个：直线BC与圆Q（或圆）相交

③有3个：直线BC与圆Q（或圆）相切，同时与圆（或圆Q）相交；直线BC经过圆Q与圆的一个交点，同时与两圆相交

④有4个：直线BC与圆Q，圆都相交，且不经过两圆的交点.