Question

如图，在正方形ABCD中，0是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥OF于点0，分别交AB、BC于点E、F．若AE=4，CF=3，求EF的长．

Answer 1

分析：根据正方形的对角线互相平分且相等可得AO=BO，∠AOB=90°，对角线平分一组对角可得∠OAE=∠OBF，再根据等角的余角相等求出∠AOE=∠BOF，然后利用“角边角”证明△AOE和△BOF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AE，同理可得BE=CF，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：解：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°，
∴∠AOE+∠BOE=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠BOF+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，

∠AOE=∠BOF AO=BO ∠OAE=∠OBF

，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴BF=AE=4，
同理可得BE=CF=3，
在Rt△BEF中，EF=

BE2+BF2

=

32+42

=5．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，熟记正方形的性质，求出三角形全等的条件是解题的关键．