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    【题目】如图，正方形ABCD的边长为6，E、F分别是边CD、AD上动点，AE和BF交于点G．

    （1）如图（1），若E为边CD的中点，AF=2FD，求AG的长．

    （2）如图（2），若点F在AD上从A向D运动，点E在DC上从D向C运动，两点同时出发，同时到达各自终点，求在运动过程中，点G运动的路径长．

    （3）如图（3），若E、F分别是边CD、AD上的中点，BD与AE交于点H，求∠FBD的正切值．

    【答案】（1）；（2）；（3）

    【解析】

    （1）根据正方形的边长为6，易知DE = CE = 3；由已知AF=2FD可得AF = 4；从而用AAS证明△ADE≌△MCE（AAS），进而求出AD = MC = 6；通过证明△AGF∽△MBG，再通过相似三角形的性质得，运用勾股定理计算出AM=,最后得出AG；

    （2）动点问题，通过证明△ABF≌△DAE(HL)，进而得出AFG =∠AED，∠DAE =∠ABF等量关系，易推论出∠AFG+∠DAE=90° ，以证明∠AGB=90°,从而推出G点运动的实质是在以O为圆心，OA为半径的圆上运动了圆周，运用扇形的弧长公式计算即可得G运动路径的长度；

    （3）通过做辅助线过点F作FN⊥BD于点D，构建出Rt△BNF和Rt△DNF，再根据已知条件E、F分别是边CD、AD上的中点，解直角三角形分别求出直角边NF = ND，BN=BD-DN,最后把所求数据代入求解即可.

    解：（1）延长AE交BC延长线于M,

    在正方形ABCD中，∠DAE =∠M

    ∵E为DC的中点，AF=2FD,正方形边长为6

    ∴DE = CE = 3，AF = 4

    在△ADE和△MCE中

    ∴△ADE≌△MCE（AAS）

    ∴AD = MC = 6

    在△AGF和△MBG中

    ∴△AGF∽△MBG

    ∴

    AM=

    ∴AG.

    （2）设AB的中点为点O，则OA =AB = 3，

    由题意知：AF=DE，AB=AD

    ∴△ABF≌△DAE(HL)

    ∴∠AFG =∠AED，∠DAE =∠ABF

    ∵∠AFG +∠ABF=90°，∠DAE +∠AED=90°

    ∴∠AFG+∠DAE=90°

    ∴∠AGB=90°

    ∴点G 在以O为圆心，OA为半径的圆上运动了圆周

    ∴点G运动的路径长 = π = π；

    （3）过点F作FN⊥BD于点D，据题意知∠FDN=45°，BD =

    ∵E、F分别是边CD、AD上的中点

    ∴DF = ×6 = 3

    ∴在Rt△DNF中,FN = DN = sin45°DF

    ∴BN = BD–DN =

    ∴

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    （2）请你补全条形统计图；

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