Question

【题目】已知抛物线（是常数）的顶点为，直线

求证：点在直线上；

当时，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，与直线的另一个交点为，是轴下方抛物线上的一点，（如图），求点的坐标；

若以抛物线和直线的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）点的坐标为；（3）的值为，，，，．

【解析】

（1）利用配方法得到，点，然后根据一次函数图象上点的坐标特征判断点在直线上；

（2）当时，抛物线解析式为，根据抛物线与轴的交点问题求出，易得，通过解方程组，得，，作轴于，轴于，轴于，如图，证明，利用相似得，设，则，得（舍去），，于是得到点的坐标为；

（3）通过解方程组得，，利用两点间的距离公式得到，，然后分类讨论：当时，；当时，；当时，，再分别解关于的方程求出即可.

证明：∵，

∴点的坐标为，

∵当时，，

∴点在直线上；

解：当时，抛物线解析式为，

当时，，解得，，则，

当时，，则，

可得解方程组，解得或，

则，，

作轴于，轴于，轴于，如图，

∵，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∵，

∵，

∴，

∴，

∴，

设，

∴，，

∴，

整理得，解得（舍去），，

∴点的坐标为；

解：解方程组得或，则，，

∴，，，

当时，，解得，；

当时，，解得，；

当时，，解得，

综上所述，的值为，，，，．