Question

如图，在⊙O中，弧DC=弧DN，点P为⊙O上一点，过D作CN的平行线交PN，PC的延长线于A，B，过P作PM∥AB交DC的延长线于M，
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若PN=3AN的值，求

PD

DM

．

Answer 1

分析：（1）连接OD，由弧DC=弧DN，则知OD⊥CN，又知到AB∥CN，故能证明OD⊥AB，
（2）连接DN，先证△DCP∽△DPM，得到

PD

DM

=

CD

PD

，再证△ADN∽△APD，得到AD=2AN，最后得到

PD

DM

的值．

解答：（1）证明：连接OD，
∵弧DC=弧DN，
∴OD⊥CN，
∵AB∥CN，
∴OD⊥AB，
∴AB为⊙O切线．

（2）解：连接DN，
∵

DC

=

DN

，
∴∠DCN=∠CPD，
又PM∥AB，CN∥AB，
∴CN∥MP，
∴∠DCN=∠M，
∴∠DPC=∠M，又∠CDP=∠PDM，
∴△DCP∽△DPM，
∴

PD

DM

=

CD

PD

，
∵∠DAN=∠PAD，∠ADN=∠APD，
∴△ADN∽△APD，得到AD=2AN，
又

AN

AD

=

DN

PD

=

CD

PD

=

1

2

，
即

PD

DM

=

1

2

．

点评：本题考查了切线的判定，相似三角形的判定等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．