Question

在直角梯形中, , 高(如图1). 动点同时从点出发, 点沿运动到点停止, 点沿运动到点停止,两点运动时的速度都是1cm/s,而当点到达点时,点正好到达点. 设同时从点出发,经过的时间为(s)时, 的面积为 (如图2). 分别以为横、纵坐标建立直角坐标系, 已知点在边上从到运动时, 与的函数图象是图3中的线段.

(图1)                      (图2)                (图3)
（1）分别求出梯形中的长度;
（2）分别写出点在边上和边上运动时, 与的函数关系式(注明自变量的取值范围), 并在图3中补全整个运动中关于的函数关系的大致图象.
（3）问：是否存在这样的t,使PQ将梯形ABCD的面积恰好分成1:6的两部分？若存在,求出这样的t的值；若不存在,请说明理由．

Answer 1

（1）；
（2）当点在上时,；当点在上时,；图象见解析；
（3）或6.

解析试题分析：（1）P在AD边上运动时,三角形BQP以BQ为底边,以CD的长为高,因此可根据三角形BQP的面积,求出BC,而P、Q速度相同,P到A的时间与Q到C的时间相同,因此BA=BC．求AD的长可通过构建直角三角形来求解．
（2）三角形BQP中,BQ=t,BP=t,以BQ为底边的高,可用BP•sinB来表示,然后可根据三角形的面积计算公式得出关于y,t的函数关系式．
（3）PQ将梯形ABCD的面积分成两部分,左边部分面积逐渐增大,右边面积逐渐减少,故有两种可能,一是左边面积等于梯形ABCD面积的 ,另一种是右边面积等于梯形ABCD面积的.
试题解析：（1）设动点出发t秒后,点P到达点A且点Q正好到达点C时,BC=BA=t,
则S_△BPQ= ×t×3.6=10.8,
所以t=6（秒）．
则BA=6（cm）,
过点A作AH⊥BC于H,
则四边形AHCD是矩形,

∴AD=CH,CD=AH=3.6cm,
在Rt△ABH中,BH= cm,
∴CH=1.2cm,
∴AD=1.2cm；
（2）当点在上时,；
当点在上时,;
整个运动中关于的函数关系的大致图象：

（3）梯形ABCD的面积： 
设存在这样的t,使PQ将梯形ABCD的面积恰好分成1:6的两部分,
当点在上时,△PQB的面积是：,故有：,此时： ;
当点与点上重合时,点与点上重合,△PQB的面积是： ,此时：,也满足PQ将梯形ABCD的面积恰好分成1:6的两部分.所以：或6.
考点：二次函数综合题．