Question

已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．

（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）设点G是对称轴上一点，求当△GAB周长最小时，点G的坐标；

（3）若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不存在，说明理由；

（4）设点M是x轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）由线段长度求出三个点的坐标，再用待定系数法求解即可；

（2）找到点B关于抛物线对称轴的对称点A，取AB与抛物线对称轴的交点即可；

（3）分别过点P，A作AP的垂线，取点Q，根据等腰直角三角形构建全等三角形即可求解；

（4）根据以AB为边和以AB为对角线进行讨论，结合菱形的性质进行求解即可．

【解答】解：（1）由题意可求，A（0，2），B（﹣1，0），点C的坐标为（4，0）．

设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣4）（x+1），

把点A（0，2）代入，解得：a=﹣，

所以抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣4）（x+1）=，

（2）如图1

物线y=的对称轴为：x=，

由点C是点B关于直线：x=的对称点，所以直线AC和直线x=的交点即为△GAB周长最小时的点G，

设直线AC的解析式为：y=mx+n，把A（0，2），点C（4，0）代入得：．

，

解得：，

所以：y=x+2，

当x=时，y=，

所以此时点G（，）；

（3）如图2

使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形的所有符合条件的点Q的坐标：Q₁（，），Q₂（，﹣），Q₃（2，），Q₄（﹣2，），

证明Q₁：过点Q₁作Q₁M⊥x轴，垂足为M，

由题意：∠APQ₁=90°，AP=PQ₁，

∴∠APO+∠MPQ₁=90°，

∵∠APO+∠PAO=90°，

∴∠PAO=∠MPQ₁，

在△AOP和△MPQ₁中，

，

∴△AOP≌△MPQ₁，

∴PM=AO=2，Q₁M=OP=，

∴OM=，

此时点Q的坐标为：（，）；

（4）存在

点N的坐标为：（0，﹣2），（，2），（﹣，2），（，2）．

【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会运用待定系数法求函数解析式；结合对称点解决线段和最小问题；熟悉等腰直角三角形的性质，并应用于点的存在的研究；熟悉菱形的性质，并运用于菱形顶点的存在性研究是解决此题的关键．