Question

【题目】如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，GD．

（1）如图1，求证EB＝GD；

（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝3，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BE＝7．

【解析】

(1)根据正方形的性质得出条件证明△AGD≌△AEB,即可证明EB=GD．

(2)作AH⊥DG,根据勾股定理算出EG,再推出AH,再由勾股定理求出DH,即可求出BE．

(1)证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形,

∴AB＝AD,AG＝AE,∠BAD＝∠GAE＝90°,

∴∠BAE＝∠DAG,

在△AGD和△AEB中

∴△AGD≌△AEB(SAS),

∴EB＝GD；

(2)解：作AH⊥DG于H,

∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形,

∴AD＝AB＝5,AE＝AG＝3．

∴由勾股定理得：EG＝＝6,

AH＝GH＝EG＝3(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),

∴DH＝＝4,

∴BE＝DG＝DH+GH＝3+4＝7．