Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），顶点C（1，-4），与x轴交于A、B两点，A（-1，0）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点Q为线段AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作QF⊥AE于F，QG⊥DB于G，请判断

QF

BE

+

QG

AD

是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作MN⊥EQ，MN分别与边AE、BE相交于M、N，（M与A、E不重合，N与E、B不重合），请判断

QA

QB

=

EM

EN

是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将A点坐标代入，即可求得抛物线的解析式；
（2）根据两对相似三角形：△AQF、△ABE和△BGQ、△BDA得出的对应成比例线段，即可求出所求的代数式是否为定值；
（3）易证得△EMN∽△FQE，得

EM

EN

=

FQ

EF

①，下面证

QF

EF

=

QA

QB

，需通过构建相似三角形求解；
过Q作QP⊥BE于P，则四边形FQPE是矩形，FE=QP②；已知E在AB的垂直平分线上，可得：△AEB是等腰Rt△，进一步可知△AFQ、△QEB也是等腰Rt△；易证得△FAQ∽△PQB，得

QA

QB

=

QF

QP

③，联立①②③即可证得所求的结论．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）²-4，（1分）
将A（-1，0）代入解析式得：0=a（-1-1）²-4，
∴a=1，
∵抛物线的解析式为y=（x-1）²-4，
即y=x²-2x-3；（3分）

（2）是定值，

QF

BE

+

QG

AD

=1，（4分）
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵QF⊥AE，
∴QF∥BE，
∴△AQF∽△ABE，
∴

QF

BE

=

AQ

AB

，
同理：

QG

AD

=

QB

AB

，
∴

QF

BE

+

QG

AD

=

AQ

AB

+

QB

AB

=

AQ+QB

AB

=

AB

AB

=1；（6分）

（3）∵直线EC为抛物线的对称轴，
∴EC垂直平分AB，
∴AE=EB，
∵∠AEB=90°，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴∠EAB=∠EBA=45°，（7分）
过点Q作QP⊥BE于P，如图（8分）
由已知及作法可知，四边形FQPE是矩形，
∴QP=FE且QP∥FE，
在△AQF和△QBP中，
∵∠EAB=∠BQP=45°，
∴QP=BP=FE且△AQF∽△QBP，
∴

QA

QB

=

QF

BP

，
∴

QA

QB

=

QF

BP

=

QF

FE

①，
在△QFE和△MEN中，
∵MN⊥EQ，
∴∠MNE+∠HEN=90°，
∵∠FEQ+∠HEN=90°，
∴∠MNE=∠FEQ，
又∵∠QFE=∠MEN=90°，
∴△EFQ∽△NEM，
∴

QF

FE

=

EM

EN

②，
由①、②知：

QA

QB

=

EM

EN

．（11分）

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识；（3）题中，能够正确的根据已知和所求条件构建出相似三角形是解题的关键．