Question

如图13，已知直线y=4-x与反比例函数y= (m>0,x>0)的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别相交于C、D两点.

(1)如果点A的横坐标为1，利用函数图象求关于x的不等式4-x<的解集；

(2)是否存在以AB为直径的圆经过点P(1,0)？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）∴点A的横坐标为1，点A在直线

y=4-x 的图象上，y=4-1=3,

∴点A的坐标为（1，3），

点A在反比例函数y= (m>0,x>0)的图象的

图象上，m = xy =3 ,

     ∵点A、B是直线y=4-x与反比例函数

y= (x>0)的图象的交点，∴4-x= ,

解得x=1或x=3,点B的横坐标为3，∴4-x< 的解集为  x<1或x>3 。

（2）存在以AB为直径的圆经过点P(1,0)。

连结AP、BP，分别过点A、B作x轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F。

4-x=,x²-4x+m=0, 令a、b是该方程的解，则a + b = 4, b = 4 – a ，

令点A的坐标为（a,4-a），则点B的坐标为（4-a,a）；

以AB为直径的圆经过点P（1，0），则∠APB=90º，

∠APB+∠EPA+∠FPB=180 º ，∠EPA+∠FPB=90º，∵AE⊥x轴，BF⊥x轴，

∴∠AEP=∠PFB=90º，∠EAP+∠EPA=90º，∠EPA=∠FPB，△AEP∽△PFB，

= , = ,   a=2+     或    a=2-

4-a=2-         4-a=2+ ，

∵点A（2+ ，2- ） 或（2- ，2+ ）在反比例函数

y= (m>0,x>0)的图象上，∴ m =(2+ )(2- )= .