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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=20．动点P从点D出发，在线段DA上以每秒2个单位长的速度向点A运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
    （1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
    （2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
    （3）是否存在某一时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）作PE⊥BC于点E，则四边形PDCE是矩形，根据题意可得出BQ=16-t，即可得出S与t之间的函数关系式，以及自变量t的取值范围；
    （2）分为三种情况：①若PB=PQ，②若QB=QP，③若BQ=BP，分别求出t即可；
    （3）假设存在某一时刻t，使得PQ⊥BD，作QM⊥AD于点M，因为AD∥BC，则1+∠2=90°，由PQ⊥BD，得∠3=∠2，可证明Rt△PMQ∽Rt△DCB，从而得出t．
    解答：精英家教网解：（1）作PE⊥BC于点E，则四边形PDCE是矩形，
    ∴PE=DC=12，∵CQ=t，∴BQ=16-t，
    ∴S=
    1
    2
    (16-t)×12=-6t+96    （0≤t≤10）

    （2）①若PB=PQ，∵PE⊥BC，∴BE=QE，∵EC=PD=2t，
    ∴BE=16-2t，QE=2t-t=t
    ∴16-2t=t，解得t=
    16
    3

    ②若QB=QP，作QF⊥AD于点F，在Rt△PFQ中，
    ∵FQ=CD=12，PF=2t-t=t，∴QP2=t2+144，∵QB2=（16-t）2
    ∴t2+144=（16-t）2，整理得32t=112，解得t=
    7
    2
    ，
    ③若BQ=BP，在Rt△PBE中，∵PE=CD=12，BE=16-2t
    ∴PB2=（16-2t）2+144
    ∴（16-2t）2+144=（16-t）2，整理得3t2-32t+144=0，
    ∵△=322-12×144=-704＜0，
    ∴该方程没有实数根，故BQ≠BP，
    ∴t=
    16
    3
    或t=
    7
    2
    时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形

    （3）假设存在某一时刻t，使得PQ⊥BD，作QM⊥AD于点M精英家教网
    ∵AD∥BC，∠C=90°，∴∠ADC=90°，∴∠1+∠2=90°，
    ∵PQ⊥BD，∴∠1+∠3=90°，∴∠3=∠2，
    ∴Rt△PMQ∽Rt△DCB，
    ∴
    PM
    DC
    =
    QM
    BC
    ，∴
    2t-t
    12
    =
    12
    16
    ，
    解得t=9，
    ∴当t=9时，PQ⊥BD．
    点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，是中考压轴题，难度较大．
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    20、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，E为BC边上的点．将直角梯形ABCD沿对角线BD折叠，使△ABD与△EBD重合（如图中阴影所示）．若∠A=130°，AB=4cm，则梯形ABCD的高CD≈
    3.1
    cm．（结果精确到0.1cm）

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    精英家教网如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
    （1）求证：△ACD∽△BAC；
    （2）求DC的长；
    （3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．

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    （1998•大连）如图，在直角梯形ABCD中．AD∥BC，DC⊥BC，且BC=3AD．以梯形的高AE为直径的⊙O交AB于点F，交CD于点G、H．过点F引⊙O的切线交BC于点N．
    （1）求证：BN=EN；
    （2）求证：4DH•HC=AB•BF；
    （3）设∠GEC=α．若tan∠ABC=2，求作以tanα、cotα为根的一元二次方程．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠ADC=90°，AB=3a，CD=2a，AD=2，点E、F分别是腰AD、BC上的动点，点G在AB上，且四边形AEFG是矩形．设FG=x，矩形AEFG的面积为y．
    （1）求y与x之间的函数关式，并写出自变量x的取值范围；
    （2）在腰BC上求一点F，使梯形ABCD的面积是矩形AEFG的面积的2倍，并求出此时BF的长；
    （3）当∠ABC=60°时，矩形AEFG能否为正方形？若能，求出其边长；若不能，请说明理由．

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    如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=6cm，CD=10cm，AD=5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度向点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．
    （1）经过几秒钟，点P、Q之间的距离为5cm？
    （2）连接PD，是否存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由．

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