Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；
（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC；
（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把BA，AD，DC它们的和求出来再除以速度每秒5个单位就可以求出t的值，然后也可以求出BQ的长；
（2）如图1，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD为平行四边形，从而PD=QC，用t分别表示QC，BA，AP，然后就可以得出关于t的方程，解方程就可以求出t；
（3）①当点E在CD上运动时，如图2分别过点A、D作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形ADHF为矩形，然后根据已知条件可以证明△ABF≌△DCH，根据全等三角形的性质可以得到FH=AD=75，BF=CH=30，DH=AF=40，再求出tanC=，在Rt△CQE中，QE，QC就可以用t表示，这样射线QK扫过梯形ABCD的面积为S也可以用t表示了；
②当点E在DA上运动时，如图1．过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC-CH=3t-30，现在的射线QK扫过梯形ABCD的面积S就是梯形QCDE，可以用t表示了．
（4）△PQE能成为直角三角形．
①当点P在BA（包括点A）上，即0＜t≤10时，如图2．过点P作PG⊥BC于点G，则PG=PB•sinB=4t，又有QE=4t=PG，易得四边形PGQE为矩形，此时△PQE总能成为直角三角形
②当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10＜t≤25时，如图1．由QK⊥BC和AD∥BC可知，此时，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，即5t-50+3t-30≠75，解得t≠．
③当点P在DC上（不包括点D但包括点C），即25＜t≤35时，如图3．由ED＞25×3-30=45，
可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故∠EPQ不会是直角．由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是锐角．对于∠PQE，
∠PQE≤∠CQE，只有当点P与C重合，即t=35时，如图4，∠PQE=90°，△PQE为直角三角形．
解答：解：（1）t=（50+75+50）÷5=35（秒）时，点P到达终点C．（1分）
此时，QC=35×3=105，
∴BQ的长为135-105=30．（2分）

（2）如图1，若PQ∥DC，
又∵AD∥BC，
∴四边形PQCD为平行四边形，
∴PD=QC，
由QC=3t，BA+AP=5t
得50+75-5t=3t，
解得t=．
经检验，当t=时，有PQ∥DC．（4分）

（3）①当点E在CD上运动时，如图2．分别过点A、D
作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形
ADHF为矩形，且△ABF≌△DCH，从而
FH=AD=75，于是BF=CH=30．
∴DH=AF=40．
又∵QC=3t，
从而QE=QC•tanC=3t•=4t．
（注：用相似三角形求解亦可）
∴S=S_△QCE=QE•QC=6t²；（6分）
②当点E在DA上运动时，如图1．过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC-CH=3t-30．
∴S=S_梯形QCDE=（ED+QC）DH=120t-600．（8分）

（4）△PQE能成为直角三角形．（9分）
当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35．（12分）根据全等三角形的性质
（注：（4）问中没有答出t≠或t=35者各扣（1），其余写法酌情给分）
下面是第（4）问的解法，仅供教师参考：
①当点P在BA（包括点A）上，即0＜t≤10时，如图2．
过点P作PG⊥BC于点G，则PG=PB•sinB=4t，
又有QE=4t=PG，易得四边形PGQE为矩形，此时△PQE总能成为直角三角形．
②当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10＜t≤25时，如图1．
由QK⊥BC和AD∥BC可知，此时，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，
即5t-50+3t-30≠75，解得t≠．
③当点P在DC上（不包括点D但包括点C），
即25＜t≤35时，如图3．由ED＞25×3-30=45，
可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故
∠EPQ不会是直角．
由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是锐角．
对于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，只有当点P与C
重合，即t=35时，如图4，∠PQE=90°，△PQE
为直角三角形．
综上所述，当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35．
点评：此题综合性很强，把图形的变换放在梯形的背景中，利用等腰梯形的性质结合已知条件探究图形的变换，根据变换的图形的性质求出运动时间．