Question

一次函数y=-

1

2

x+b经过点B（4，0），与x轴交于点A．P为x正半轴上一点，设P点坐标为（t，0），在平面直角坐标系中作正方形OPMN和正方形PBEF（字母均按逆时针顺序），当点P移动时两个正方形也随之发生变化如图所示，直线EN交x轴于D．

（1）求b的值；
（2）t为何值时，AB∥NE；
（3）t为何值时，△BED与△OAB相似．

Answer 1

分析：（1）将点B的坐标代入已知一次函数的解析式，列出关于b的方程，通过解方程即可求得b的值；
（2）如3，由AB∥NE，就可以得出AB与NE的K值相等，设NE的解析式为y=-0.5x+m，由P（t，0），就有N（0，t），E（4，4-t），根据待定系数法就可以求出t的值；
（3）首先由AB∥NE时，就有△AOB∽△EBD，t值由（2）可以知道，如图2，当△AOB∽△DBE时和△AOB∽△EBD时，分别可以求出t值．

解答：解：（1）∵y=-

1

2

x+b经过点B（4，0），
∴0=-2+b，
∴b=2；

（2）∵AB∥NE，
∴直线AB的解析式与直线NE的解析式的K值相等．
∵四边形OPMN和四边形PBEF是正方形，
∴ON=0P，PB=BE．
∵P（t，0），
∴OP=t，PB=4-t，
∴ON=t，BE=4-t，
∴N（0，t），E（4，4-t）．
设NE的解析式为y=-0.5x+m，由图象得：

t=m 4-t=-2+m

，
解得：

m=3 t=3

，
∴t的值为3时，AB∥NE；

（3）当点P位于点B的左侧时，
∵t=3时，AB∥NE，
∴△AOB∽△EBD，
t=3；
当点P位于点B的右侧时，
如图2，此时PB=BE=t-4，
∵BE∥ON，
∴△NAD∽△EBD，
∴

NO

OD

=

BE

BD

即：

4

4-BD

=

t-4

BD

解得：BD=

4t-16

t

当△AOB∽△DBE

AO

BD

=

OB

BE

即：

2

4t-16 t

=

4

t-4

解得t=4（此时点P与点B重合，舍去）或t=8；
当△AOB∽△EBD时，

AO

EB

=

OB

BD

即：

2

t-4

=

4

4t-16 t

解得：t=2，或t=4（此时点P与点B重合，舍去）
∴t=2或t=3或t=8时，△BED与△OAB相似．

点评：本题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质．解答（3）题时，注意分类讨论，以防漏解．